Trong toán học, việc chứng minh một phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức toàn diện về cách chứng minh điều này, bao gồm lý thuyết, phương pháp và ví dụ minh họa.
1. Phương trình bậc hai và điều kiện có nghiệm
Phương trình bậc hai có dạng tổng quát:
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)Để phương trình này có nghiệm, biệt thức delta (Δ) phải lớn hơn hoặc bằng 0:
Δ = b² - 4ac ≥ 0Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép. Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
2. Các bước chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
Để Chứng Minh Rằng Phương Trình Luôn Có Nghiệm Với Mọi M, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định và tính biệt thức Δ của phương trình, thường Δ sẽ là một biểu thức chứa tham số m.
- Bước 2: Biến đổi Δ về dạng mà ta có thể chứng minh được nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của m. Thường sử dụng các kỹ thuật như hoàn thiện bình phương, phân tích thành nhân tử, hoặc sử dụng bất đẳng thức.
- Bước 3: Chứng minh Δ ≥ 0 với mọi m. Điều này có nghĩa là Δ không âm với bất kỳ giá trị nào của m.
- Bước 4: Kết luận rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
3. Ví dụ minh họa chi tiết
Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m:
x² - (m - 2)x + m - 4 = 0Giải:
- Bước 1: Tính Δ:
Δ = (m - 2)² - 4(m - 4) = m² - 4m + 4 - 4m + 16 = m² - 8m + 20- Bước 2: Biến đổi Δ:
Δ = m² - 8m + 20 = (m² - 8m + 16) + 4 = (m - 4)² + 4- Bước 3: Chứng minh Δ ≥ 0:
Vì (m – 4)² ≥ 0 với mọi m, nên (m – 4)² + 4 ≥ 4 > 0 với mọi m. Vậy Δ > 0 với mọi m.
- Bước 4: Kết luận:
Vì Δ > 0 với mọi m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Ví dụ 2: Cho phương trình ({x^2} – 2left( {m – 1} right)x + m – 3 = 0) (m là tham số). Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Ta có:
Biệt thức Delta lớn hơn 0 cho thấy phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m, điều này được minh họa bằng việc biểu thức Delta được biến đổi thành một bình phương cộng với một số dương.
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m
Ví dụ 3: Cho phương trình ({x^2} – 2left( {m – 1} right)x + 2m – 5 = 0) (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Ta có:
(begin{matrix} Delta = {left[ { – left( {m – 1} right)} right]^2} – 4.1left( {2m – 5} right) hfill \ Delta = 4{m^2} – 12m + 22 hfill \ Delta = {left( {2m} right)^2} – 2.2m.3 + 9 + 13 = {left( {2m + 3} right)^2} + 12 > 0forall m hfill \ end{matrix})
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.
4. Các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải
- Phương trình bậc hai: Sử dụng biệt thức Δ để xét dấu và chứng minh.
- Phương trình bậc cao: Có thể sử dụng các định lý về nghiệm của đa thức, hoặc xét dấu của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
- Sử dụng tính liên tục của hàm số: Nếu f(a) và f(b) trái dấu, thì tồn tại ít nhất một nghiệm c thuộc khoảng (a, b) sao cho f(c) = 0.
- Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử phương trình không có nghiệm, rồi suy ra mâu thuẫn.
5. Định lý Viète và ứng dụng
Định lý Viète cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂:
x₁ + x₂ = -b/a
x₁x₂ = c/aĐịnh lý Viète đảo: Nếu tồn tại hai số x₁ và x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = S và x₁x₂ = P thì x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – Sx + P = 0.
6. Bài tập tự luyện
Bài tập 1: Chứng minh phương trình x² – mx + m – 2 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
Bài tập 2: Chứng minh rằng phương trình (m² – m + 3)x² – 2x – 4 = 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi m.
Bài tập 3: Chứng minh phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (-2;1): 2x⁵-5x³-1=0.
Bài tập 4: CMR phương trình: 2x³-5x²+x+1=0 có ít nhất hai nghiệm.
Bài tập 5: CMR phương trình: 3x³ + 2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm.
Bài tập 6: CMR phương trình: 4x⁴ + 2x² – x = 3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1).
Bài tập 7: Chứng minh phương trình sau có nghiệm: (m² – 4)(x – 1)⁶ + 5x² – 7x + 1=0
Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập các dạng bài tập khác nhau, bạn sẽ có thể tự tin chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m trong mọi tình huống.
