Chứng minh một phân số là tối giản là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Điều này giúp học sinh hiểu sâu hơn về cấu trúc số học và rèn luyện tư duy logic. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp Chứng Minh Phân Số Tối Giản một cách chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng đa dạng, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
Phương Pháp Chứng Minh Phân Số Tối Giản
Để chứng minh một phân số là tối giản, ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số là 1. Nói cách khác, tử số và mẫu số không có ước chung nào khác ngoài 1 và -1.
Các bước thực hiện:
- Gọi d là ƯCLN của tử số và mẫu số.
- Chứng minh rằng tử số chia hết cho d và mẫu số chia hết cho d.
- Sử dụng các phép biến đổi đại số (cộng, trừ, nhân, chia) để tạo ra một biểu thức đơn giản hơn chia hết cho d.
- Chứng minh rằng biểu thức đơn giản này bằng 1 hoặc -1.
- Kết luận rằng d = 1 hoặc d = -1, suy ra phân số đã cho là tối giản.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Chứng minh phân thức $frac{-n + 3}{n – 4}$ (với n ∈ N) là tối giản.
Lời giải:
Gọi ƯCLN của -n + 3 và n – 4 là d.
=> (-n + 3)⋮ d và (n – 4)⋮ d
=> [(-n + 3) +(n – 4)] ⋮ d
=> -1⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho là tối giản với ∀n ∈ N.
Ví dụ 2: Chứng minh phân thức $frac{2n + 1}{5n + 3}$ (với n ∈ N) là tối giản.
Lời giải:
Gọi ƯCLN của 2n + 1 và 5n + 3 là d.
=> (2n +1)⋮ d và (5n + 3)⋮ d
=> [2(5n + 3) – 5(2n + 1) ] ⋮ d
=> 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số $frac{n^3 + 2n}{n^4 + 3n^2 + 1}$ là phân số tối giản.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của n3 + 2n và n4 + 3n2 + 1.
Ta có n3 + 2n ⋮ d => n(n3 + 2n) ⋮ d => n4 + 2n2 ⋮ d (1)
(n4 + 3n2 + 1) –(n4 + 2n2) ⋮ d
=> n2 + 1 ⋮ d => (n2 + 1)2 = n4 + 2n2 + 1 ⋮ d (2)
Từ (1) và (2) suy ra (n4 + 2n2 +1) – (n4 + 2n2) ⋮ d => 1 ⋮ d => d = ± 1
Vậy $frac{n^3 + 2n}{n^4 + 3n^2 + 1}$ là phân số tối giản.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Chứng minh phân thức $frac{3n + 1}{5n + 2}$ (với n ∈ N) là tối giản.
Lời giải:
Gọi ƯCLN của 3n + 1 và 5n + 2 là d.
=> (3n + 1) ⋮ d và (5n + 2) ⋮ d
=> [3(5n + 2) – 5(3n + 1)] ⋮ d
=> 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 2: Chứng minh phân thức $frac{12n + 1}{30n + 2}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2.
=> (12n + 1)⋮ d và (30n + 2)⋮ d
=> [5(12n + 1) – 2(30n + 2)] ⋮ d
=> 1 ⋮ d, với ∀n ∈ N
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 3: Chứng minh phân thức $frac{2n + 1}{2n^2 – 1}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 2n2 – 1.
=> (2n +1)⋮ d và (2n2 -1)⋮ d
=> [n(2n + 1) – (2n2 -1)] = n + 1⋮ d
=> 2(n + 1) ⋮ d => (2n + 2) – (2n + 1) = 1 ⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 4: Chứng minh phân thức $frac{2n + 5}{3n + 7}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n + 5 và 3n + 7.
=> (2n + 5)⋮ d và (3n + 7)⋮ d
=> [3(2n + 5) – 2(3n + 7)] = 1⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 5: Chứng minh phân thức $frac{5n + 7}{7n + 10}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 5n + 7 và 7n + 10.
=> (5n + 7)⋮ d và (7n + 10)⋮ d
=> [7(5n + 7) – 5(7n + 10)] = -1⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 6: Chứng minh phân thức $frac{3n – 2}{4n – 3}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 3n – 2 và 4n – 3.
=> (3n – 2)⋮ d và (4n – 3)⋮ d
=> [3(4n – 3) – 4(3n – 2)] = -1⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 7: Chứng minh phân thức $frac{3n}{3n + 1}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 3n và 3n + 1.
=> 3n ⋮ d và (3n + 1)⋮ d
=> [(3n + 1) – 3n ] = 1⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 8: Chứng minh phân thức $frac{2n – 1}{4n^2 – 2}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 2n – 1 và 4n2 – 2.
=> (2n -1)⋮ d và (4n2 – 2)⋮ d
=> [2n(2n – 1) – (4n2 – 2)] = -2n + 2⋮ d
=> (2n – 1) + (-2n + 2) = 1 ⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 9: Chứng minh phân thức $frac{7n – 5}{3n – 2}$ là tối giản với mọi số tự nhiên n.
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN của 7n – 5 và 3n – 2.
=> (7n – 5)⋮ d và (3n – 2)⋮ d
=> [3(7n – 5) – 7(3n – 2)] = -1⋮ d
=> d = 1 hoặc d = -1
Vậy phân thức đã cho tối giản với ∀n ∈ N.
Bài 10: Cho phân thức $frac{m}{n}$ là phân thức tối giản. Chứng minh phân thức $frac{m}{m + n}$ là phân thức tối giản.
Lời giải:
Giả sử m, n là các số nguyên và ƯCLN(m, n) = 1 (vì $frac{m}{n}$ tối giản).
nếu d là ước chung m của m + n thì:
(m + n) d và m d
=> [(m + n) – m ] = n d
=> d ∈ ƯC (m,n) => d = 1(vì $frac{m}{n}$ tối giản) .
Vậy nếu phân thức $frac{m}{n}$ là phân thức tối giản thì phân thức $frac{m}{m + n}$ cũng là phân thức tối giản.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, các em học sinh sẽ nắm vững phương pháp chứng minh phân số tối giản và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc các em học tốt!
