Chứng Minh Hai Tam Giác Vuông đồng Dạng là một kỹ năng quan trọng trong chương trình hình học lớp 8. Nắm vững các phương pháp và dấu hiệu nhận biết sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết về chủ đề này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn có thể tự tin chinh phục mọi bài toán.
Các Trường Hợp Đồng Dạng Của Tam Giác Vuông
Để chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng, chúng ta có thể sử dụng các trường hợp sau:
-
Góc nhọn: Nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng với một góc nhọn của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
-
Cạnh góc vuông – Cạnh góc vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
-
Cạnh huyền – Cạnh góc vuông: (Định lý đặc biệt) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia, thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.
Tóm lại, để chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng, ta cần chứng minh một trong các điều kiện trên.
Hình ảnh minh họa trường hợp đồng dạng cạnh huyền – cạnh góc vuông giúp học sinh dễ hình dung và ghi nhớ kiến thức.
Tỉ Lệ Trong Tam Giác Đồng Dạng
Khi hai tam giác đồng dạng, các yếu tố khác của tam giác cũng có những tỉ lệ nhất định:
- Đường cao: Tỉ số hai đường cao tương ứng của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.
- Diện tích: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Nếu ΔABC ∽ ΔA’B’C’ với tỉ số đồng dạng k, và AH, A’H’ lần lượt là đường cao của ΔABC và ΔA’B’C’, ta có:
Công thức này giúp giải các bài toán liên quan đến đường cao và tỉ số đồng dạng.
Diện tích của hai tam giác đồng dạng tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng:
Công thức này giúp giải các bài toán liên quan đến diện tích và tỉ số đồng dạng.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho ΔABC vuông tại A, AC = 8cm, BC = 12cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC. Trên Cx lấy điểm D sao cho BD =18cm. Chứng minh rằng ΔABC ∽ ΔBCD.
Lời giải:
Xét hai tam giác vuông ΔABC và ΔBCD, ta có:
- ∠BAC = ∠BCD = 90°
- AC/BC = 8/12 = 2/3
- BC/BD = 12/18 = 2/3
=> AC/BC = BC/BD
Vậy ΔABC ∽ ΔBCD (c.g.c)
Hình ảnh này giúp học sinh dễ dàng theo dõi và hiểu rõ cách áp dụng trường hợp đồng dạng cạnh-góc-cạnh cho tam giác vuông.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chứng minh rằng: ΔABH ∽ ΔCAH.
Lời giải:
Xét ΔABH và ΔCAH, ta có:
- ∠AHB = ∠CHA = 90°
- ∠BAH = 90° – ∠ABH
- ∠ACH = 90° – ∠HBC
Mà ∠ABH = ∠HBC (cùng phụ với ∠BAH và ∠ACH)
=> ∠BAH = ∠ACH
Vậy ΔABH ∽ ΔCAH (g.g)
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho hai tam giác vuông ABC và ABD có đỉnh góc C và D nằm trên một nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi P là giao điểm của các cạnh AC và BD. Đường thẳng qua P vuông góc với AB tại I. Chứng minh rằng: ΔAPI ∽ ΔBPI.
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có BD và CE là hai đường cao cắt nhau tại H. Gọi M là giao điểm của AH và BC. Chứng minh rằng: MH.MA=MB.MC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D trên cạnh AC. Đường thẳng qua D vuông góc với BC tại E cắt AB tại F. Chứng minh rằng:
a) ΔDAF ∽ ΔDEC
b) ΔABC ∽ ΔEDC.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!