Góc giữa hai mặt phẳng là gì?
Góc giữa hai mặt phẳng là góc tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Hiểu một cách trực quan, đó là góc nhị diện tạo bởi hai mặt phẳng. Việc xác định và tính toán góc này là một bài toán quan trọng trong hình học không gian.
Các phương pháp chứng minh và tính góc giữa hai mặt phẳng
Để chứng minh và tính góc giữa hai mặt phẳng, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau. Dưới đây là một số phương pháp phổ biến:
1. Dựng đường thẳng vuông góc
Phương pháp này tập trung vào việc dựng một mặt phẳng phụ vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng ban đầu.
- Bước 1: Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Bước 2: Dựng một mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến c.
- Bước 3: Xác định giao tuyến a của (Q) và (R), và giao tuyến b của (P) và (R).
- Bước 4: Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
2. Xác định giao tuyến và sử dụng định nghĩa
Phương pháp này dựa trên việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và sau đó sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng.
- Bước 1: Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (α) và (β).
- Bước 2: Chọn một điểm I trên giao tuyến d.
- Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng đường thẳng a vuông góc với d tại I.
- Bước 4: Trong mặt phẳng (β), dựng đường thẳng b vuông góc với d tại I.
- Bước 5: Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a và b.
3. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Phương pháp này thường được áp dụng khi bài toán đã cho sẵn các yếu tố hình học liên quan đến tam giác vuông.
- Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng này xuống mặt phẳng kia.
- Bước 2: Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính góc giữa hai mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), SA = a. Xác định và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
4. Dựng mặt phẳng phụ
Đôi khi, việc dựng thêm một mặt phẳng phụ có thể giúp đơn giản hóa bài toán và dễ dàng hơn trong việc tính toán góc giữa hai mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, cạnh đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn có đường kính AB = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a√3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Tính cosα.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Gọi E là trung điểm BC và F là trung điểm BE. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SOF) và (SBC).
Kết luận
Việc chứng minh và tính góc giữa hai mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng trong hình học không gian. Nắm vững các phương pháp và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
