Tích vô hướng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học không gian, giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến góc và khoảng cách. Bài viết này sẽ tập trung vào cách tính tích vô hướng và ứng dụng nó để giải một bài toán hình học thú vị về tứ diện.
A. Định Nghĩa và Công Thức Tích Vô Hướng
Cho hai vectơ u→ và v→ khác vectơ 0→ trong không gian. Tích vô hướng của hai vectơ u→ và v→ là một số, ký hiệu u→. v→, được xác định bởi công thức:
u→. v→ = |u→| . |v→| . cos(u→, v→)
Trong đó cos(u→, v→) là cosin của góc giữa hai vectơ u→ và v→. Nếu một trong hai vectơ là 0→, ta quy ước u→. v→ = 0.
B. Ví Dụ Về Tứ Diện Đặc Biệt
Xét bài toán sau: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Để giải bài toán này, ta sử dụng phương pháp tọa độ hóa hoặc phân tích vectơ. Dưới đây là một cách tiếp cận:
Phân Tích Vectơ
Ta có CD→ = AD→ – AC→. Khi đó:
AB→.CD→ = AB→ . (AD→ – AC→) = AB→.AD→ – AB→.AC→
Tính AB→.AD→:
AB→.AD→ = |AB→| . |AD→| . cos(∠BAD) = AB . AD . cos(60°) = AB . AD . (1/2)
Tính AB→.AC→:
AB→.AC→ = |AB→| . |AC→| . cos(∠BAC) = AB . AC . cos(60°) = AB . AC . (1/2)
Vì AB = AC = AD, nên AB→.AD→ = AB→.AC→. Do đó AB→.CD→ = 0.
Điều này chứng tỏ AB vuông góc với CD.
C. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Chứng minh rằng AB vuông góc với CD.
Giải:
Như đã trình bày ở trên, ta có:
AB→.CD→ = AB→ . (AD→ – AC→) = AB→.AD→ – AB→.AC→
Vì AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ta có AB→.AD→ = AB→.AC→.
Suy ra AB→.CD→ = 0, chứng tỏ AB vuông góc với CD.
Ví dụ 2: (Mở rộng) Cho tứ diện ABCD thỏa mãn AB = AC = AD, ∠BAC = ∠BAD = 60° và ∠CAD = 90°. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa AM và CD.
Giải:
Ta có AM→ = (1/2) (AB→ + AC→). Khi đó:
AM→.CD→ = (1/2) (AB→ + AC→) . (AD→ – AC→)
= (1/2) [AB→.AD→ – AB→.AC→ + AC→.AD→ – AC→.AC→]
Ta đã biết AB→.AD→ = AB→.AC→ = (1/2)AB².
Tính AC→.AD→:
AC→.AD→ = |AC→| . |AD→| . cos(∠CAD) = AC . AD . cos(90°) = 0
Vậy:
AM→.CD→ = (1/2) [ (1/2)AB² – (1/2)AB² + 0 – AC²] = (1/2) [-AC²] = -(1/2)AB²
Để tìm góc giữa AM và CD, ta cần tính độ dài của AM và CD.
AM = (AB√3)/2 (vì tam giác ABC đều)
CD = √(AC² + AD²) = √(AB² + AB²) = AB√2 (vì tam giác CAD vuông cân tại A)
cos(AM, CD) = (AM→.CD→) / (|AM→| . |CD→|) = [-(1/2)AB²] / [((AB√3)/2) . (AB√2)] = -1 / √6
Vậy góc giữa AM và CD là arccos(-1/√6).
D. Ứng Dụng và Mở Rộng
Các bài toán về tứ diện có các yếu tố đặc biệt như trên thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi và đại học. Việc nắm vững kiến thức về tích vô hướng, tích có hướng và phương pháp tọa độ hóa là rất quan trọng.
Ngoài ra, bài toán này có thể mở rộng bằng cách thay đổi các góc hoặc độ dài cạnh, yêu cầu tìm các yếu tố khác của tứ diện như thể tích, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, hoặc góc giữa hai mặt phẳng.
E. Bài Tập Luyện Tập
- Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, BAC=BAD=60°, CAD=90°. Tính thể tích tứ diện ABCD.
- Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, BAC=BAD=60°, CAD=90°. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).
- Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, BAC=BAD=60°, CAD=90°. Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm CD. Tính góc giữa AI và AJ.
Bằng cách luyện tập các bài tập tương tự, bạn sẽ nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian và làm quen với các dạng bài tập phức tạp hơn.
