Cho Tứ Diện ABCD Có AB, AC, AD Đôi Một Vuông Góc: Bài Toán Và Ứng Dụng

donghochetacdh

15 hours ago

Trong hình học không gian, tứ diện đặc biệt với ba cạnh đôi một vuông góc tại một đỉnh đóng vai trò quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào các bài toán liên quan đến tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc, đồng thời mở rộng ứng dụng của nó.

Bài toán cơ bản:

Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc tại A.

Tính thể tích tứ diện:
Thể tích V của tứ diện ABCD được tính theo công thức:
```
V = (1/6) * AB * AC * AD
```
Tìm tọa độ các đỉnh:
Trong hệ tọa độ Oxyz, ta có thể đặt A(0;0;0), B(a;0;0), C(0;b;0), D(0;0;c) với a, b, c là độ dài các cạnh AB, AC, AD.
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
Tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là trung điểm của đoạn thẳng nối A và hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD). Bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp được tính bằng:
```
R = (1/2) * sqrt(AB^2 + AC^2 + AD^2)
```

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có AB = 3, AC = 4, AD = 12 và AB, AC, AD đôi một vuông góc. Tính thể tích tứ diện ABCD.

Giải:

Áp dụng công thức, ta có:

V = (1/6) * AB * AC * AD = (1/6) * 3 * 4 * 12 = 24

Vậy thể tích tứ diện ABCD là 24 đơn vị thể tích.

Bài 2: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc tại O. Biết OA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng (ABC).

a) Chứng minh rằng:

1/OH^2 = 1/OA^2 + 1/OB^2 + 1/OC^2

b) Tính OH theo a, b, c.

Giải:

a) Gọi A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c). Phương trình mặt phẳng (ABC):

x/a + y/b + z/c = 1

Khi đó, khoảng cách từ O(0;0;0) đến mặt phẳng (ABC) chính là OH. Áp dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:

OH = 1 / sqrt(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)

Suy ra:

1/OH^2 = 1/OA^2 + 1/OB^2 + 1/OC^2

b) Từ câu a, ta có:

OH = abc / sqrt(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2)

Ứng dụng trong giải toán:

Dạng tứ diện này thường xuất hiện trong các bài toán về:

Tính khoảng cách: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Tính góc: Tính góc giữa hai đường thẳng, hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài toán liên quan đến mặt cầu: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp, hoặc các yếu tố liên quan đến mặt cầu.

Mở rộng và nâng cao:

Các bài toán phức tạp hơn có thể liên quan đến việc tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, hoặc chứng minh các tính chất hình học. Để giải quyết, cần kết hợp kiến thức về:

Tọa độ không gian: Sử dụng phương pháp tọa độ để biểu diễn các điểm và đường thẳng.
Vectơ: Sử dụng tích vô hướng và tích có hướng để tính toán các yếu tố hình học.
Hình học giải tích: Áp dụng các công thức và định lý trong hình học giải tích để giải bài toán.

Lời kết:

Tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc là một dạng hình học quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các bài toán hình học không gian. Việc nắm vững các công thức và phương pháp giải toán liên quan đến dạng tứ diện này sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình học tập và ôn thi. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và cái nhìn sâu sắc hơn về dạng toán này.