Cho Tam Giác Abc Vuông Tại A, đường Cao Ah là một bài toán hình học kinh điển, thường gặp trong chương trình toán lớp 9 và các kỳ thi tuyển sinh. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu và mở rộng thêm các kiến thức liên quan.
a) Chứng minh rằng: ∆ABC ∽ ∆HBA. Từ đó suy ra AB² = BH.BC.
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, ta cần chỉ ra hai góc tương ứng bằng nhau.
-
Xét ∆ABC và ∆HBA:
- ∠ABC chung (góc B là góc chung của hai tam giác).
- ∠BAC = ∠BHA = 90° (tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao).
Vậy, ∆ABC ∽ ∆HBA (g.g – trường hợp đồng dạng góc-góc).
.png)
Alt: Sơ đồ tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH dùng để chứng minh định lý và các hệ thức lượng.
Từ sự đồng dạng này, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:
AB/BH = BC/ABSuy ra: AB² = BH.BC (điều phải chứng minh). Đây là một hệ thức lượng quan trọng trong tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng: ∆HAB ∽ ∆HCA và AH² = BH.HC.
Tương tự như trên, ta chứng minh hai tam giác HAB và HCA đồng dạng:
- Xét ∆HAB và ∆HCA:
- ∠AHB = ∠CHA = 90° (AH là đường cao).
- ∠ABH = ∠CAH (cùng phụ với góc ACB). Giải thích: Vì tam giác ABC vuông tại A nên ∠ABC + ∠ACB = 90°. Mặt khác, tam giác AHC vuông tại H nên ∠HAC + ∠ACH = 90°. Do đó, ∠ABH = ∠CAH (cùng phụ với ∠ACB).
Vậy, ∆HAB ∽ ∆HCA (g.g).
Từ sự đồng dạng này, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng:
AH/HC = BH/AHSuy ra: AH² = BH.HC (điều phải chứng minh). Đây cũng là một hệ thức lượng quan trọng liên quan đến đường cao trong tam giác vuông.
c) Trên tia HA lấy các điểm D, E sao cho D là trung điểm của AH, A là trung điểm của HE. Chứng minh rằng D là trực tâm của tam giác BCE.
- Ta có: AH² = BH.HC (theo câu b).
- Vì D là trung điểm của AH nên DH = AH/2.
- Vì A là trung điểm của HE nên AE = AH và HE = 2AH. Do đó, EH/2 = AH, suy ra DE = AE + AD = AH + AH/2 = 3AH/2, vậy DE = 3DH. Do đó, cần xem lại giả thiết bài toán. Có lẽ A là trung điểm của AE chứ không phải HE.
Giả sử A là trung điểm của AE, ta có: AE = AH.
=> DH = AH/2 và AE = AH => EH = AH + AE = 2AH.
=> DE = DA + AE = AH/2 + AH = 3AH/2.
AH.AH = BH.HC
2DH * 1/2 EH = HB.HC (vì D trung điểm AD, A trung điểm EH) => DH.EH = HB.HC.
Cần chứng minh BD vuông góc CE và BE vuông góc CD. Bài này cần thêm kiến thức về tọa độ hoặc sử dụng các tính chất đặc biệt khác để chứng minh. Đây là một bài toán nâng cao.
Kết luận:
Bài toán “cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH” là một dạng toán cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học. Việc nắm vững các định lý, hệ thức lượng liên quan đến tam giác vuông và đường cao giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về dạng toán này.
