Xét bài toán quen thuộc về tam giác vuông cân: Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a. Bài viết này sẽ đi sâu vào cách giải bài toán này, mở rộng thêm các dạng bài tập liên quan và ứng dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề hình học khác.
Bài toán cơ bản: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a. Tính độ dài của vectơ AB→ + AC→.
Lời giải:
Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng quy tắc hình bình hành. Dựng hình bình hành ABDC, khi đó ta có: AB→ + AC→ = AD→.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A và AB = AC = a, hình bình hành ABDC trở thành hình vuông. Do đó, AD là đường chéo của hình vuông ABDC.
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác ABD vuông tại A, ta có:
AD² = AB² + BD² = a² + a² = 2a²
=> AD = a√2
Vậy, |AB→ + AC→| = |AD→| = a√2.
Kết luận: |AB→ + AC→| = a√2.
Mở rộng và các dạng bài tập liên quan đến tam giác ABC vuông cân tại A có AB = a:
-
Tính diện tích tam giác ABC:
- Diện tích tam giác ABC = (1/2) AB AC = (1/2) a a = a²/2.
-
Tính độ dài đường cao AH:
- Trong tam giác vuông cân, đường cao AH cũng là đường trung tuyến, nên H là trung điểm của BC.
- BC = a√2 (theo định lý Pitago).
- AH = BC/2 = (a√2)/2 = a/√2.
-
Xác định tọa độ các điểm:
- Giả sử A(0, 0), B(a, 0), khi đó C(0, a). Ta có thể sử dụng tọa độ để tính toán các yếu tố khác của tam giác.
-
Bài toán liên quan đến đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp:
- Đường tròn ngoại tiếp: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân là trung điểm của cạnh huyền BC. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/2 = a√2/2.
- Đường tròn nội tiếp: Bán kính đường tròn nội tiếp r = (AB + AC – BC)/2 = (a + a – a√2)/2 = a(2 – √2)/2.
-
Bài toán về các đường phân giác:
- Tính độ dài các đường phân giác trong tam giác ABC. Ví dụ, đường phân giác kẻ từ B cắt AC tại D.
- Áp dụng tính chất đường phân giác để tìm tỉ lệ các đoạn thẳng.
Ứng dụng kiến thức về tam giác ABC vuông cân trong các bài toán hình học:
- Chứng minh các tính chất hình học: Sử dụng các tính chất của tam giác vuông cân để chứng minh các bài toán liên quan đến tính vuông góc, song song, bằng nhau của các đoạn thẳng, góc.
- Giải các bài toán thực tế: Áp dụng kiến thức về tam giác vuông cân để giải các bài toán liên quan đến đo đạc, thiết kế, xây dựng…
Ví dụ bài tập nâng cao:
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính AM→ theo AB→ và AC→.
b) Chứng minh rằng AM vuông góc với BC.
Lời giải:
a) Vì M là trung điểm của BC, ta có: AM→ = (AB→ + AC→)/2
b) Để chứng minh AM vuông góc với BC, ta chứng minh AM→ . BC→ = 0.
BC→ = AC→ – AB→
AM→ . BC→ = ((AB→ + AC→)/2) . (AC→ – AB→) = (1/2) (AC→² – AB→²) = (1/2) (a² – a²) = 0
Vậy AM vuông góc với BC.
Bài viết này đã trình bày chi tiết cách giải bài toán cơ bản về tam giác ABC vuông cân tại A có AB=a, đồng thời mở rộng ra các dạng bài tập liên quan và ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết sẽ giúp bạn đọc nắm vững kiến thức và vận dụng linh hoạt vào giải các bài toán hình học.
