Trong hình học phẳng, trọng tâm của tam giác là một điểm đặc biệt, có nhiều ứng dụng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức đầy đủ về cách xác định tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
Công Thức Tọa Độ Trọng Tâm Tam Giác ABC
Cho tam giác ABC với tọa độ các đỉnh A(xA; yA), B(xB; yB), và C(xC; yC). Tọa độ trọng tâm G(xG; yG) của tam giác ABC được tính theo công thức sau:
xG = (xA + xB + xC) / 3
yG = (yA + yB + yC) / 3
Ảnh: Công thức tổng quát tính tọa độ trọng tâm G(xG, yG) dựa trên tọa độ các đỉnh A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) của tam giác ABC trong hệ trục tọa độ Oxy.
Ví Dụ Minh Họa Cách Tìm Tọa Độ Trọng Tâm G
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3). Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Giải:
Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm, ta có:
xG = (2 + 0 + 1) / 3 = 1
yG = (0 + 4 + 3) / 3 = 7/3
Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(1; 7/3).
Ví dụ 2: Cho tam giác DEF với D(-4; 1), E(2; 4), F(2; -2). Tìm tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
xH = (-4 + 2 + 2) / 3 = 0
yH = (1 + 4 – 2) / 3 = 1
Vậy tọa độ trọng tâm H của tam giác DEF là H(0; 1).
Ảnh: Ví dụ minh họa cách tính tọa độ trọng tâm H(0, 1) của tam giác DEF khi biết tọa độ các đỉnh D(-4, 1), E(2, 4) và F(2, -2) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Ví dụ 3: Tam giác ABC có C(-2; -4), trọng tâm G(0; 4) và trung điểm M của BC là M(2; 0). Tìm tọa độ đỉnh A và B.
Giải:
Vì M là trung điểm BC, ta có:
xB = 2xM – xC = 22 – (-2) = 6
yB = 2yM – yC = 20 – (-4) = 4
Vậy B(6; 4)
Vì G là trọng tâm, ta có:
xA = 3xG – xB – xC = 30 – 6 – (-2) = -4
yA = 3yG – yB – yC = 34 – 4 – (-4) = 12
Vậy A(-4; 12).
Ảnh: Hình minh họa vị trí tương đối của các điểm A, B, C, M, G trong tam giác ABC, giúp hình dung cách giải bài toán tìm tọa độ các đỉnh khi biết trọng tâm và trung điểm cạnh.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(1; -1), B(5; -3) và C thuộc trục Oy. Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
Giải:
Vì C thuộc trục Oy nên C(0; c).
Vì G thuộc trục Ox nên G(g; 0).
Áp dụng công thức trọng tâm:
xG = (1 + 5 + 0)/3 = 2
yG = (-1 – 3 + c)/3 = 0 => c = 4
Vậy C(0; 4).
Ví dụ 5: Cho các điểm M(2; 0), N(2; 2), P(-1; 3) lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm B.
Giải:
Gọi A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC).
Ta có:
xA + xB = 2(-1) = -2
xB + xC = 22 = 4
xC + xA = 2*2 = 4
Cộng vế theo vế, ta được: 2(xA + xB + xC) = 6 => xA + xB + xC = 3
Do đó: xB = (xA + xB + xC) – (xA + xC) = 3 – 4 = -1
Tương tự:
yA + yB = 23 = 6
yB + yC = 20 = 0
yC + yA = 2*2 = 4
Cộng vế theo vế, ta được: 2(yA + yB + yC) = 10 => yA + yB + yC = 5
Do đó: yB = (yA + yB + yC) – (yA + yC) = 5 – 4 = 1
Vậy B(-1; 1).
Bài Tập Tự Luyện
- Cho tam giác ABC có A(2; 3), B(1; 4), C(5; 7). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
- Cho tam giác ABC có A(1; 5), B(-1; 3), C(2; 6). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
- Tam giác ABC có C(2; 3), trọng tâm G(0; 2), trung điểm BC là M(-2; 1). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
- Cho tam giác ABC có A(2; -2), B(3; 5) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
- Cho tam giác ABC có A(3; 1), B(2; 6) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
- Cho tam giác ABC có A(1; 6), B(3; 5), C(-1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
- Cho tam giác ABC có A(-2; 5), B(2; 4), C(1; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
- Tam giác ABC có C(1; 1), trọng tâm G(3; 2), trung điểm BC là M(0; 6). Tìm tọa độ của đỉnh A và đỉnh B.
- Cho tam giác ABC có A(1; 7), B(2; -3) và C thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Ox. Tìm tọa độ của điểm C.
- Cho tam giác ABC có A(5; 8), B(-2; 3) và C thuộc trục Ox, trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên trục Oy. Tìm tọa độ của điểm C.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC và áp dụng thành công vào giải các bài toán liên quan.
