Bài toán hình học về tam giác nhọn ABC với AB < AC luôn chứa đựng nhiều điều thú vị. Chúng ta sẽ khám phá các tính chất đặc biệt khi có thêm các đường cao và giao điểm. Cho tam giác ABC nhọn, với cạnh AB ngắn hơn AC. Gọi AD, BE, CF là các đường cao của tam giác này. Giao điểm của EF và BC là K. Mục tiêu của chúng ta là chứng minh các hệ thức quan trọng liên quan đến các điểm và đường thẳng này.
a) Chứng minh KB.KC = KE.KF
Để chứng minh đẳng thức này, ta sẽ sử dụng tính chất của các tứ giác nội tiếp và tam giác đồng dạng.
-
Tứ giác nội tiếp: Do BE và CF là các đường cao, nên góc BFC và BEC đều bằng 90 độ. Điều này chứng tỏ tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC. Tương tự, tứ giác AFDC nội tiếp đường tròn đường kính AC, và AEBD nội tiếp đường tròn đường kính AB.
-
Góc bằng nhau: Vì tứ giác BFEC nội tiếp, nên góc KFB = 180° – BFE = BCE (tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp).
-
Tam giác đồng dạng: Xét tam giác KFC và tam giác KEB, ta có:
- Góc KFB = KCE (chứng minh trên)
- Góc FKB = CKE (góc chung)
Do đó, tam giác KFC đồng dạng với tam giác KEB (g.g – góc góc).
-
Tỉ lệ thức: Từ sự đồng dạng của hai tam giác, ta có tỉ lệ thức: KF/KE = KC/KB, suy ra KB.KC = KE.KF (điều phải chứng minh).
b) Chứng minh KB/KC = DB/DC
Để chứng minh tỉ lệ thức này, chúng ta cần khai thác thêm các mối quan hệ đồng dạng và tỉ lệ khác.
-
Tam giác đồng dạng (lần 2): Xét tam giác KEB và KCF, ta có:
- KEB = KCF (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC)
- EKB = CKF (góc chung)
Suy ra tam giác KEB đồng dạng với tam giác KCF (g.g).
-
Tỉ lệ thức (lần 2): Từ sự đồng dạng này, ta có KE/KC = EB/CF.
-
Kết hợp tỉ lệ thức: Từ KB/KE = FC/EB (do tam giác KFC đồng dạng với tam giác KEB) và KE/KC = EB/CF, ta có KB/KC = (KB/KE) (KE/KC) = (FC/EB) (EB/CF) = (BF/CE) * (BE/CE). (1)
-
Tam giác đồng dạng (lần 3): Xét tam giác BDF và tam giác BAC, ta có:
- BDF = BAC (cùng chắn cung FC)
- DBF = ABC (góc chung)
Suy ra tam giác BDF đồng dạng với tam giác BAC (g.g). Do đó DB/BA = BF/BC
-
Tam giác đồng dạng (lần 4): Chứng minh tương tự, ta có tam giác CDE đồng dạng với tam giác CBA, suy ra DC/CA = CE/CB.
-
Tỉ lệ thức (lần 3): Do đó DB/DC = (BF/BC) / (CE/CB) = BF/CE * CB/CB = BF/CE. (2)
-
Mối liên hệ giữa các cạnh: Vì tam giác ABC nhọn, AB < AC nên ta có AB/AC = BE/CF (từ tam giác đồng dạng).
-
Kết luận: Từ (1), (2) và mối liên hệ trên, suy ra KB/KC = DB/DC (điều phải chứng minh).
Bài toán này là một ví dụ điển hình về sự kết hợp giữa các kiến thức hình học cơ bản như tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng và tỉ lệ thức. Việc chứng minh thành công các đẳng thức và tỉ lệ thức không chỉ giúp ta hiểu sâu hơn về tính chất của tam giác nhọn mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề trong hình học.
