Bài toán về tam giác cân luôn là một phần quan trọng trong chương trình hình học. Dưới đây là một bài toán điển hình: Cho tam giác ABC có AB=AC, M là trung điểm của BC. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết bài toán này, đồng thời mở rộng các kiến thức liên quan.
Đề bài: Cho tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA.
a) Chứng minh AC = EB và AC song song với EB.
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.
c) Từ E kẻ EH vuông góc với BC tại H. Cho biết góc HBE = 50°; góc MEB = 25°. Tính số đo các góc HEB và HEM.
Lời giải chi tiết:
Hình vẽ minh họa tam giác ABC cân tại A với M là trung điểm BC và E là điểm đối xứng của A qua M. Hình vẽ hỗ trợ trực quan cho việc chứng minh các tính chất hình học.
a) Chứng minh AC = EB và AC song song với EB.
Phân tích: Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau và hai đường thẳng song song, ta thường sử dụng các tam giác bằng nhau và các góc so le trong bằng nhau. Trong trường hợp này, ta sẽ xét hai tam giác AMC và EMB.
Chứng minh:
Xét tam giác AMC và tam giác EMB, ta có:
- AM = ME (theo giả thiết)
- góc AMC = góc EMB (hai góc đối đỉnh)
- BM = CM (vì M là trung điểm của BC)
Do đó, tam giác AMC = tam giác EMB (c.g.c).
Từ đó suy ra:
- AC = EB (hai cạnh tương ứng)
- góc MAC = góc MEB (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong.
Vậy, AC = EB và AC song song với EB (vì có hai góc so le trong bằng nhau).
b) Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng.
Phân tích: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta cần chứng minh tổng hai góc tạo bởi ba điểm đó và một điểm khác trên đường thẳng bằng 180 độ. Ở đây, ta sẽ chứng minh góc IMK = 180 độ.
Chứng minh:
Xét tam giác AMI và tam giác EMK, ta có:
- AM = ME (theo giả thiết)
- góc MAI = góc MEK (do góc MAC = góc MEB, chứng minh ở câu a)
- AI = EK (theo giả thiết)
Do đó, tam giác AMI = tam giác EMK (c.g.c).
Suy ra góc AMI = góc EMK (hai góc tương ứng).
Ta có: góc AMI + góc IME = 180° (hai góc kề bù)
Do đó: góc EMK + góc IME = 180°
Hay góc IMK = 180°.
Vậy, ba điểm I, M, K thẳng hàng.
c) Từ E kẻ EH vuông góc với BC tại H. Cho biết góc HBE = 50°; góc MEB = 25°. Tính số đo các góc HEB và HEM.
Phân tích: Sử dụng tính chất của tam giác vuông và quan hệ giữa các góc kề nhau để tìm ra các góc cần tính.
Chứng minh:
Trong tam giác HBE vuông tại H, ta có:
góc HBE + góc HEB = 90° (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng 90°)
Suy ra: góc HEB = 90° – góc HBE = 90° – 50° = 40°.
Ta có: góc HEB = góc HEM + góc MEB (hai góc kề nhau)
Hay 40° = góc HEM + 25°
Suy ra: góc HEM = 40° – 25° = 15°.
Vậy, góc HEB = 40°; góc HEM = 15°.
Kết luận:
Bài toán “Cho Tam Giác Abc Có Ab=ac M Là Trung điểm Của Bc” là một bài toán hình học cơ bản nhưng chứa đựng nhiều kiến thức quan trọng về tam giác cân, tam giác bằng nhau, đường thẳng song song và các tính chất về góc. Việc nắm vững các kiến thức này sẽ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán hình học khác.
