Bài toán: Cho Tam Giác Abc Có a = 3, b = 5 và c = 7. Hãy giải các yêu cầu sau:
a) Tính các góc của tam giác, làm tròn đến độ.
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Lời giải chi tiết:
a) Tính các góc của tam giác:
Để tính các góc của tam giác ABC, ta sẽ sử dụng định lý cosin. Định lý cosin cho phép chúng ta tìm ra các góc của tam giác khi biết độ dài ba cạnh.
- Tìm góc A:
Áp dụng định lý cosin cho góc A, ta có:
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
Suy ra: cosA = (b2 + c2 – a2) / (2bc)
Thay số: cosA = (52 + 72 – 32) / (2 5 7) = (25 + 49 – 9) / 70 = 65 / 70 = 13/14
Vậy, A ≈ 22.19° ≈ 22° (làm tròn đến độ)
Alt: Minh họa định lý cosin: a bình phương bằng b bình phương cộng c bình phương trừ hai lần b nhân c nhân cos góc A, ứng dụng giải tam giác.
- Tìm góc B:
Tương tự, áp dụng định lý cosin cho góc B, ta có:
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
Suy ra: cosB = (a2 + c2 – b2) / (2ac)
Thay số: cosB = (32 + 72 – 52) / (2 3 7) = (9 + 49 – 25) / 42 = 33 / 42 = 11/14
Vậy, B ≈ 38.21° ≈ 38° (làm tròn đến độ)
Alt: Tam giác ABC với cạnh và góc B được làm nổi bật, thể hiện việc ứng dụng định lý cosin để tìm góc.
- Tìm góc C:
Ta có thể tìm góc C bằng cách sử dụng định lý cosin một lần nữa hoặc dựa vào tổng các góc trong một tam giác bằng 180°.
C = 180° – A – B ≈ 180° – 22° – 38° = 120°
Vậy, C = 120°
b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác:
- Bán kính đường tròn nội tiếp (r):
Đầu tiên, ta tính nửa chu vi của tam giác:
p = (a + b + c) / 2 = (3 + 5 + 7) / 2 = 15 / 2 = 7.5
Tiếp theo, ta tính diện tích của tam giác bằng công thức Heron:
S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)) = √(7.5 (7.5 – 3) (7.5 – 5) (7.5 – 7)) = √(7.5 4.5 2.5 0.5) = √(42.1875) ≈ 6.495
Cuối cùng, ta tính bán kính đường tròn nội tiếp:
r = S / p ≈ 6.495 / 7.5 ≈ 0.866
Vậy, bán kính đường tròn nội tiếp r ≈ 0.866
Alt: Hình ảnh công thức Heron, sử dụng nửa chu vi và độ dài ba cạnh để tính diện tích tam giác.
- Bán kính đường tròn ngoại tiếp (R):
Ta sử dụng công thức liên hệ giữa diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp:
R = (abc) / (4S)
Thay số: R = (3 5 7) / (4 * 6.495) = 105 / 25.98 ≈ 4.041
Vậy, bán kính đường tròn ngoại tiếp R ≈ 4.041
Alt: Tam giác ABC nằm trong đường tròn ngoại tiếp, minh họa cách tính bán kính đường tròn ngoại tiếp dựa trên diện tích và độ dài các cạnh.
Kết luận:
a) Các góc của tam giác ABC lần lượt là: A ≈ 22°, B ≈ 38° và C = 120°.
b) Bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là r ≈ 0.866 và bán kính đường tròn ngoại tiếp là R ≈ 4.041.
Bài toán “cho tam giác abc có” là một dạng bài tập cơ bản trong hình học, giúp học sinh nắm vững các định lý và công thức quan trọng như định lý cosin, công thức Heron, và các công thức liên hệ giữa diện tích tam giác với bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp. Việc giải các bài toán này không chỉ rèn luyện kỹ năng tính toán mà còn giúp phát triển tư duy logic và khả năng ứng dụng kiến thức vào thực tế.
