Phương trình bậc hai là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và có nhiều ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ đi sâu vào việc giải và biện luận phương trình bậc hai, đặc biệt tập trung vào phương trình x^2-mx+m-1=0.
Để bắt đầu, hãy nhắc lại dạng tổng quát của phương trình bậc hai:
ax^2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0)
Trong đó, a, b, và c là các hệ số. Nghiệm của phương trình bậc hai được tìm bằng công thức nghiệm:
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)
Biểu thức Δ = b^2 – 4ac được gọi là biệt thức của phương trình. Dấu của Δ quyết định số lượng và tính chất của nghiệm:
- Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.
- Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm thực trùng nhau).
- Nếu Δ < 0: Phương trình không có nghiệm thực (có hai nghiệm phức).
Alt text: Công thức tính delta (Δ) trong phương trình bậc hai, với Δ bằng b bình phương trừ 4 lần tích của a và c, được biểu diễn rõ ràng.
Giải và biện luận phương trình x^2-mx+m-1=0
Trong trường hợp phương trình x^2-mx+m-1=0, ta có:
- a = 1
- b = -m
- c = m – 1
Do đó, biệt thức Δ của phương trình là:
Δ = (-m)^2 – 4 1 (m – 1) = m^2 – 4m + 4 = (m – 2)^2
Nhận thấy rằng Δ = (m – 2)^2 ≥ 0 với mọi giá trị của m. Điều này có nghĩa là phương trình x^2-mx+m-1=0 luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m.
Xét các trường hợp cụ thể:
-
Trường hợp 1: Δ > 0 ⇔ (m – 2)^2 > 0 ⇔ m ≠ 2
Khi m ≠ 2, phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:
x1 = (m + √((m - 2)^2)) / 2 = (m + |m - 2|) / 2x2 = (m - √((m - 2)^2)) / 2 = (m - |m - 2|) / 2Để tiếp tục phân tích, ta xét hai khả năng nhỏ hơn:
- Nếu m > 2, |m-2| = m – 2 => x1 = (m + m – 2)/2 = m – 1; x2 = (m – (m – 2))/2 = 1
- Nếu m < 2, |m-2| = 2 – m => x1 = (m + 2 – m)/2 = 1; x2 = (m – (2 – m))/2 = m – 1
Vậy, khi m ≠ 2, phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = m-1 và x2 = 1.
-
Trường hợp 2: Δ = 0 ⇔ (m – 2)^2 = 0 ⇔ m = 2
Khi m = 2, phương trình có nghiệm kép:
x1 = x2 = m / 2 = 2 / 2 = 1Vậy, khi m = 2, phương trình có nghiệm kép x = 1.
Alt text: Hình ảnh minh họa nghiệm kép của phương trình bậc hai, khi đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất.
Kết luận
Phương trình x^2-mx+m-1=0 luôn có nghiệm thực với mọi giá trị của m. Cụ thể:
- Nếu m = 2: Phương trình có nghiệm kép x = 1.
- Nếu m ≠ 2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = m – 1.
Bài viết này đã trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc hai x^2-mx+m-1=0, sử dụng công thức nghiệm và phân tích biệt thức Δ. Hy vọng rằng, thông tin này sẽ hữu ích cho việc học tập và ứng dụng toán học của bạn.
Alt text: Đồ thị minh họa phương trình bậc hai tổng quát, với các thành phần như trục đối xứng, đỉnh và giao điểm với trục hoành được chú thích rõ ràng.