Trong hình học phẳng, bài toán liên quan đến đa giác đều luôn chứa đựng nhiều khía cạnh thú vị, đặc biệt khi kết hợp với các yếu tố tổ hợp. Bài viết này sẽ đi sâu vào một bài toán điển hình: xét một đa giác đều H có 20 cạnh nằm trong mặt phẳng. Chúng ta sẽ khám phá các câu hỏi liên quan đến việc tạo thành tam giác từ các đỉnh của đa giác này.
a) Có bao nhiêu tam giác mà cả ba đỉnh đều là đỉnh của H?
Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần áp dụng kiến thức về tổ hợp. Mỗi tam giác được xác định bởi ba đỉnh phân biệt. Vì vậy, số lượng tam giác có thể tạo thành từ 20 đỉnh của đa giác đều H chính là số tổ hợp chập 3 của 20, ký hiệu là (C_{20}^3).
Tính toán:
(C_{20}^3 = frac{20!}{3!(20-3)!} = frac{20!}{3!17!} = frac{20 times 19 times 18}{3 times 2 times 1} = 10 times 19 times 6 = 1140)
Vậy, có tổng cộng 1140 tam giác mà cả ba đỉnh đều là đỉnh của đa giác đều H.
b) Trong số các tam giác ở câu a) có bao nhiêu tam giác mà:
i) Có đúng hai cạnh là cạnh của H?
Để một tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác H, ba đỉnh của tam giác đó phải là ba đỉnh liên tiếp của H. Ví dụ, nếu ta đánh số các đỉnh của H từ (A1) đến (A{20}), thì các tam giác như (A_1A_2A_3), (A_2A_3A4),…, (A{20}A_1A_2) sẽ thỏa mãn điều kiện này.
Vì đa giác có 20 đỉnh, nên cũng sẽ có 20 bộ ba đỉnh liên tiếp. Do đó, có 20 tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H.
ii) Có đúng một cạnh là cạnh của H?
Xét một cạnh bất kỳ của H, chẳng hạn cạnh (A_1A_2). Để tạo thành một tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H, đỉnh thứ ba của tam giác phải là một trong các đỉnh còn lại của H, nhưng không được kề với (A_1) hoặc (A_2). Tức là, đỉnh thứ ba không thể là (A3) hoặc (A{20}).
Vậy, số đỉnh có thể chọn làm đỉnh thứ ba là 20 – 4 = 16 đỉnh. Vì có 20 cạnh của H, nên số tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H là 20 * 16 = 320.
iii) Không có cạnh nào là cạnh của H?
Tổng số tam giác có thể tạo thành từ các đỉnh của H là 1140 (đã tính ở câu a). Số tam giác có ít nhất một cạnh là cạnh của H là tổng số tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H (20) và số tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H (320).
Vậy, số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H là: 1140 – 20 – 320 = 800.
Tóm lại, bài toán về đa giác đều 20 cạnh này đã minh họa cách áp dụng kiến thức tổ hợp và hình học để giải quyết các bài toán đếm và phân tích cấu trúc. Các kết quả thu được không chỉ là đáp số, mà còn là sự hiểu biết sâu sắc về mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình học phẳng.
