Bài toán tính thể tích khối tròn xoay là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong hình học giải tích. Đặc biệt, việc xác định thể tích khi quay một hình phẳng D giới hạn bởi đường cong quanh một trục tọa độ là một dạng bài thường gặp. Trong bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp giải quyết bài toán này, tập trung vào trường hợp hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y = 2 + cosx, trục hoành và các đường thẳng x = 0; x = π/2.
Để giải bài toán này, chúng ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox:
V = π ∫ab [f(x)]2 dx
Trong trường hợp này, ta có:
- f(x) = 2 + cosx
- a = 0
- b = π/2
Do đó, thể tích V của khối tròn xoay được tính như sau:
V = π ∫0π/2 (2 + cosx)2 dx
Tiến hành khai triển và tính tích phân:
V = π ∫0π/2 (4 + 4cosx + cos2x) dx
Để tính ∫0π/2 cos2x dx, ta sử dụng công thức hạ bậc: cos2x = (1 + cos2x)/2
V = π ∫0π/2 (4 + 4cosx + (1 + cos2x)/2) dx
V = π ∫0π/2 (9/2 + 4cosx + (1/2)cos2x) dx
V = π [ (9/2)x + 4sinx + (1/4)sin2x ]0π/2
V = π [ (9/2)(π/2) + 4sin(π/2) + (1/4)sin(π) – (0 + 4sin(0) + (1/4)sin(0)) ]
V = π [ (9π/4) + 4 + 0 – 0 ]
V = π (9π/4 + 4)
Vậy, thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục hoành là V = π (9π/4 + 4).
{width=251 height=184}Hình ảnh minh họa hình phẳng D được giới hạn bởi đường cong y = 2 + cosx, trục Ox, đường thẳng x = 0 và x = π/2, trực quan hóa vùng tích phân để tính thể tích khối tròn xoay.
Việc tính toán thể tích khối tròn xoay không chỉ dừng lại ở việc áp dụng công thức. Đôi khi, việc lựa chọn phương pháp tích phân phù hợp, sử dụng các phép biến đổi lượng giác hoặc các kỹ thuật tính tích phân khác là vô cùng quan trọng để đơn giản hóa bài toán và tìm ra kết quả chính xác. Trong ví dụ trên, việc sử dụng công thức hạ bậc cho cos2x là một bước quan trọng để giải quyết tích phân.
Ngoài ra, việc hiểu rõ hình dạng của hình phẳng D giới hạn bởi đường cong cũng giúp ích rất nhiều trong việc hình dung và kiểm tra tính hợp lý của kết quả. Việc vẽ phác họa hình D có thể giúp phát hiện ra các sai sót trong quá trình thiết lập tích phân.
Tóm lại, bài toán tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong đòi hỏi sự kết hợp giữa kiến thức về tích phân, lượng giác và khả năng hình dung không gian. Việc luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp nâng cao kỹ năng giải quyết loại toán này.