Trong hình học không gian, bài toán về hình lập phương luôn là một chủ đề hấp dẫn và thường gặp trong các kỳ thi. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một bài toán điển hình: cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết các vấn đề liên quan đến hình lập phương này, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Bài toán: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD).
b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A’, BD, C’].
Lời giải chi tiết:
a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD):
- Xác định giao tuyến: Giao tuyến của hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) là đường thẳng BD.
- Tìm đường vuông góc chung: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên AO ⊥ BD. Xét tam giác A’AO vuông tại A, ta có A’O ⊥ BD.
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng AO và A’O, tức là góc AOA’.
- Tính toán:
- Trong tam giác vuông ADC, AC = a√2.
- Vì O là trung điểm AC nên AO = (a√2)/2.
- Trong tam giác vuông A’AO, A’O = √(AA’^2 + AO^2) = √(a^2 + (a√2/2)^2) = (a√6)/2.
- Vậy, cos(AOA’) = AO/A’O = (a√2/2) / (a√6/2) = √3/3.
Vậy, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và (ABCD) bằng √3/3.
b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A’, BD, C’]:
-
Xác định cạnh chung: Cạnh chung của góc nhị diện [A’, BD, C’] là đường thẳng BD.
-
Tìm hai mặt phẳng: Hai mặt phẳng tạo nên góc nhị diện là (A’BD) và (C’BD).
-
Xác định góc phẳng nhị diện: Từ kết quả phần a), ta có A’O ⊥ BD. Tương tự, C’O ⊥ BD. Vậy góc phẳng nhị diện là góc A’OC’.
-
Tính toán:
-
Ta có OA’ = OC’ = (a√6)/2 (đã tính ở trên).
-
A’C’ = a√2 (đường chéo hình vuông A’B’C’D’).
-
Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’OC’:
cos(A’OC’) = (OA’^2 + OC’^2 – A’C’^2) / (2 OA’ OC’) = (((a√6)/2)^2 + ((a√6)/2)^2 – (a√2)^2) / (2 (a√6)/2 (a√6)/2) = 1/3.
-
Vậy, côsin của số đo góc nhị diện [A’, BD, C’] bằng 1/3.
Kết luận:
Bài toán về hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a đã được giải quyết một cách chi tiết. Việc nắm vững các kiến thức về hình học không gian, đặc biệt là các tính chất của hình lập phương, cùng với việc áp dụng linh hoạt các định lý và công thức là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán tương tự. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán hình học không gian.
