Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải các bài tập liên quan đến hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’, đồng thời mở rộng kiến thức về loại hình học không gian này.
Bài toán 1: Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác đều và ABB’A’ là hình chữ nhật. Gọi M là trung điểm của BC.
a) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và B’C’.
b) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CC’.
c) Tính góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.
Lời giải:
a) Góc giữa AB và B’C’:
Vì ABC là tam giác đều nên góc ABC = 60°. Do B’C’ song song với BC, góc giữa AB và B’C’ bằng góc giữa AB và BC, tức là 60°. Vậy đáp án đúng là C. 60°.
b) Góc giữa AB và CC’:
Vì ABB’A’ là hình chữ nhật, góc ABB’ = 90°. Do CC’ song song với BB’, góc giữa AB và CC’ bằng góc giữa AB và BB’, tức là 90°. Vậy đáp án đúng là D. 90°.
c) Góc giữa AM và A’C’:
Trong tam giác đều ABC, AM là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc BAC. Do đó, góc MAC = 1/2 * góc BAC = 30°. Vì A’C’ song song với AC, góc giữa AM và A’C’ bằng góc giữa AM và AC, tức là 30°. Vậy đáp án đúng là A. 30°.
Các Tính Chất Quan Trọng của Hình Lăng Trụ Đều ABC.A’B’C’
- Đáy là đa giác đều: Tam giác ABC và A’B’C’ là các tam giác đều bằng nhau.
- Mặt bên là hình chữ nhật: Các mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CAA’C’ là các hình chữ nhật bằng nhau.
- Các cạnh bên song song và bằng nhau: AA’ // BB’ // CC’ và AA’ = BB’ = CC’.
- Đường cao: Đường cao của lăng trụ là khoảng cách giữa hai mặt đáy, cũng chính là độ dài của các cạnh bên.
Công Thức Tính Toán Cho Hình Lăng Trụ Đều ABC.A’B’C’ (với đáy là tam giác đều cạnh a và chiều cao h):
- Diện tích đáy (Sđáy):
Sđáy = (a^2 * sqrt(3)) / 4 - Diện tích xung quanh (Sxq):
Sxq = 3ah - Diện tích toàn phần (Stp):
Stp = Sxq + 2Sđáy = 3ah + (a^2 * sqrt(3)) / 2 - Thể tích (V):
V = Sđáy * h = (a^2 * sqrt(3) * h) / 4
Bài Toán Ứng Dụng:
Một hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy AB = 4 cm và chiều cao AA’ = 5 cm. Tính thể tích của lăng trụ.
Lời giải:
Áp dụng công thức tính thể tích:
V = (a^2 sqrt(3) h) / 4 = (4^2 sqrt(3) 5) / 4 = (16 sqrt(3) 5) / 4 = 20 * sqrt(3) cm³.
Kết Luận:
Hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ là một dạng hình học không gian quan trọng với nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững các tính chất và công thức tính toán giúp giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.
