Bài toán: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. AB→ + AD→ + BB’→ = AC’→
B. A’B’→ + A’D’→ + A’A→ = AC’→
C. AB→ + BD→ + A’A→ = AC’→
D. AB→ + AD→ + A’A→ = AC’→
Lời giải chi tiết:
Đáp án đúng là A.
Lý do:
Trong hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta có thể phân tích các vectơ như sau:
- AB→ và AD→ là hai cạnh của hình bình hành ABCD (đáy dưới).
- BB’→ là vectơ chỉ phương của cạnh bên, nối đỉnh B với đỉnh B’ ở đáy trên.
- AA’→ cũng là vectơ chỉ phương của cạnh bên và AA’→ = BB’→.
Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ở đáp án A như sau:
AB→ + AD→ + BB’→ = AB→ + AD→ + AA’→
Tổng AB→ + AD→ là vectơ đường chéo AC→ của hình bình hành ABCD. Vậy:
AB→ + AD→ = AC→
Tiếp theo, cộng vectơ AC→ với vectơ AA’→. Theo quy tắc hình hộp (hoặc quy tắc hình bình hành mở rộng), ta có:
AC→ + AA’→ = AC’→
Như vậy, AB→ + AD→ + BB’→ = AC’→. Các đáp án còn lại không đúng do không tuân theo quy tắc hình hộp hoặc các phép toán vectơ cơ bản trong không gian. Hình ảnh minh họa cho thấy mối quan hệ giữa các vectơ trong hình hộp, giúp hình dung rõ hơn về phép cộng vectơ.
Các dạng bài tập thường gặp liên quan đến hình hộp ABCD.A’B’C’D’:
-
Tính độ dài các cạnh và đường chéo: Sử dụng định lý Pytago mở rộng trong không gian hoặc các công thức liên quan đến tích vô hướng, tích có hướng của vectơ.
-
Xác định các vectơ đồng phẳng: Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu tích hỗn tạp của chúng bằng 0.
-
Tìm tọa độ điểm: Xác định tọa độ các điểm trong không gian Oxyz khi biết tọa độ một số điểm và các vectơ chỉ phương của hình hộp.
-
Tính thể tích hình hộp: Sử dụng công thức V = |[a, b].c|, trong đó a, b, c là ba vectơ cạnh xuất phát từ một đỉnh.
-
Chứng minh các tính chất hình học: Sử dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các tính chất như tính song song, vuông góc, đồng quy của các đường thẳng trong hình hộp.
Ví dụ:
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), A'(2; 1; 1). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại và tính thể tích hình hộp.
Hướng dẫn giải:
- Tìm tọa độ D: Vì ABCD là hình bình hành, ta có AD→ = BC→. Từ đó suy ra tọa độ điểm D.
- Tìm tọa độ B’, C’, D’ tương tự, dựa vào các vectơ bằng nhau.
- Tính thể tích hình hộp bằng công thức V = |[AB→, AD→].AA’→|.
Lưu ý:
Khi giải các bài toán về hình hộp, việc vẽ hình minh họa sẽ giúp bạn hình dung rõ hơn về quan hệ giữa các yếu tố và tìm ra hướng giải quyết bài toán. Nắm vững các quy tắc về phép toán vectơ trong không gian là chìa khóa để giải quyết các bài toán này.
