Bài toán cho hình chữ nhật ABCD, với chiều dài cạnh AD = 1. E là trung điểm của cạnh AB, và sin(BDE) = 1/3. Yêu cầu đặt ra là tính độ dài cạnh AB. Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài toán này, áp dụng kiến thức về hình học và lượng giác.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về định lý Pitago, định lý cosin trong tam giác, và các công thức lượng giác cơ bản. Cách tiếp cận là thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác thông qua các định lý, sau đó giải phương trình để tìm ra độ dài cạnh AB.
Lời giải chi tiết:
Đặt độ dài cạnh AB = 2x, suy ra AE = EB = x. Vì góc BDE là góc nhọn nên sin(BDE) = 1/3.
Hình chữ nhật ABCD với E là trung điểm AB
Alt: Sơ đồ hình học chữ nhật ABCD với điểm E là trung điểm cạnh AB và cạnh AD bằng 1 để giải bài toán lượng giác.
Áp dụng định lý Pitago cho các tam giác ADE và BCD, ta có:
- DE² = AD² + AE² = 1 + x²
- BD² = DC² + BC² = (2x)² + 1² = 4x² + 1
Từ đó, ta có:
Alt: Biểu thức sin góc BDE bằng BE chia cho DE, sử dụng trong bài toán hình chữ nhật ABCD.
Áp dụng định lý cosin trong tam giác BDE, ta có:
Alt: Phương trình bậc hai thu được từ định lý cosin áp dụng cho tam giác BDE trong hình chữ nhật ABCD.
Từ công thức trên ta có:
Alt: Biểu thức đại số sau khi áp dụng định lý cosin và thay thế các giá trị tương ứng trong hình chữ nhật ABCD.
Suy ra: 4x⁴ – 4x² + 1 = 0. Giải phương trình bậc hai ẩn x², ta được:
Alt: Giá trị cạnh AB bằng căn bậc hai của 2, kết quả bài toán hình học phẳng về hình chữ nhật ABCD.
Vậy, độ dài cạnh AB là √2.
Kết luận:
Bài toán này là một ví dụ điển hình về việc áp dụng các kiến thức hình học và lượng giác để giải quyết các bài toán thực tế. Việc nắm vững các định lý và công thức là rất quan trọng để giải quyết các bài toán tương tự. Hy vọng lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và giải quyết các bài toán hình học phẳng.
