Xét bài toán hình học không gian quen thuộc về hình chóp S.ABC, trong đó Cho Hình Chóp Sabc Có Sa=sb=sc=ab=ac=a. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích các tính chất và mối quan hệ hình học của hình chóp đặc biệt này, đồng thời cung cấp lời giải chi tiết cho một số bài toán liên quan.
Trước tiên, ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình chóp. Với SA=SB=SC=AB=AC=a, ta thấy rằng các mặt bên SAB và SAC là các tam giác đều bằng nhau. Đáy ABC là một tam giác cân tại A. Điều này tạo ra những đặc điểm hình học thú vị để khám phá.
Xét bài toán cụ thể sau:
Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a√2. Chứng minh và tính toán các yếu tố sau:
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tam giác SAB đều.
b) Tính AB→.AC→ và góc giữa SA→ và AB→.
c) Tính SC→.AB→.
d) Tính cos(SC→, AB→).
Lời giải:
a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A và tam giác SAB đều.
Ta có AB² + AC² = a² + a² = 2a² = BC². Theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A.
Vì SA = SB = AB = a, nên tam giác SAB là tam giác đều.
b) Tính AB→.AC→ và góc giữa SA→ và AB→.
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB→.AC→ = 0.
Góc giữa SA→ và AB→ bằng 180° trừ góc SAB. Do tam giác SAB đều, góc SAB = 60°. Vậy, góc giữa SA→ và AB→ = 180° – 60° = 120°.
c) Tính SC→.AB→.
Ta có SC→ = SA→ + AC→. Do đó:
SC→.AB→ = (SA→ + AC→).AB→ = SA→.AB→ + AC→.AB→
Vì AC→.AB→ = 0 (do tam giác ABC vuông tại A), ta chỉ cần tính SA→.AB→.
SA→.AB→ = |SA→|.|AB→|.cos(120°) = a.a.(-1/2) = -a²/2.
d) Tính cos(SC→, AB→).
Ta có cos(SC→, AB→) = (SC→.AB→) / (|SC→|.|AB→|)
Tính |SC→.AB→| = -a²/2. |SC→| = a và |AB→| = a.
Suy ra cos(SC→, AB→) = (-a²/2) / (a.a) = -1/2.
Kết luận:
Qua bài toán trên, ta đã thấy cách phân tích các tính chất hình học của hình chóp S.ABC khi cho hình chóp sabc có sa=sb=sc=ab=ac=a. Việc áp dụng các định lý và kiến thức về vectơ giúp giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hình chóp này là một ví dụ điển hình về sự kết hợp giữa hình học và đại số trong không gian.
