Xét bài toán kinh điển về hình chóp đều, cụ thể là cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, yêu cầu tính thể tích khi biết thêm một số yếu tố liên quan đến góc. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết bài toán này một cách chi tiết, đồng thời mở rộng ra các trường hợp và biến thể khác.
Trước tiên, cần hiểu rõ định nghĩa và tính chất của hình chóp đều. Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm của đa giác đáy. Điều này có nghĩa là trong trường hợp hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O của hình vuông.
Để tính thể tích khối chóp, ta cần xác định diện tích đáy và chiều cao của hình chóp. Diện tích đáy ABCD là a². Vấn đề còn lại là tìm chiều cao SO.
Một trong những yếu tố thường được cho trong bài toán là góc giữa cạnh bên và mặt đáy. Giả sử góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD) bằng 45°. Khi đó, tam giác SOA là tam giác vuông tại O, và góc SAO = 45°. Do đó, tam giác SOA vuông cân tại O, suy ra SO = AO.
Vì O là tâm của hình vuông ABCD cạnh a, nên AO là nửa đường chéo của hình vuông. Ta có AO = (a√2)/2. Vậy, SO = (a√2)/2.
Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: V = (1/3) Diện tích đáy Chiều cao.
Ta có V = (1/3) a² (a√2)/2 = (a³√2)/6.
Vậy, thể tích của khối chóp đều S.ABCD trong trường hợp này là (a³√2)/6.
Để giải quyết bài toán cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, ta cần linh hoạt trong việc xác định các yếu tố phụ thuộc. Ví dụ, thay vì cho góc giữa cạnh bên và mặt đáy, bài toán có thể cho góc giữa mặt bên và mặt đáy. Hoặc, có thể cho độ dài cạnh bên.
Ví dụ, nếu cho góc giữa mặt bên (SAB) và mặt đáy (ABCD) bằng 60°, ta cần xác định đường cao SH của tam giác SAB hạ từ S xuống AB. Khi đó, góc giữa (SAB) và (ABCD) là góc SHO = 60°. Trong tam giác vuông SHO, ta có SO = HO tan(60°) = (a/2) √3 = (a√3)/2.
Thể tích khối chóp trong trường hợp này là V = (1/3) a² (a√3)/2 = (a³√3)/6.
Một biến thể khác của bài toán cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a là cho độ dài cạnh bên, ví dụ SA = a√2. Khi đó, trong tam giác vuông SOA, ta có SO² = SA² – AO² = (a√2)² – ((a√2)/2)² = 2a² – a²/2 = (3a²)/2. Suy ra, SO = a√(3/2) = (a√6)/2.
Thể tích khối chóp trong trường hợp này là V = (1/3) a² (a√6)/2 = (a³√6)/6.
Như vậy, tùy thuộc vào các yếu tố cho trước, ta có thể linh hoạt áp dụng các kiến thức về hình học không gian, đặc biệt là các hệ thức lượng trong tam giác vuông, để tính chiều cao của hình chóp và từ đó suy ra thể tích của khối chóp đều S.ABCD. Việc luyện tập với nhiều dạng bài khác nhau sẽ giúp nắm vững phương pháp giải và tự tin đối diện với các bài toán phức tạp hơn.
