Cho Hình Chóp Abcd là một dạng bài toán hình học không gian thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông và các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về cách tính thể tích khối chóp ABCD, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức.
Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, BC = a√3. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30 độ. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.
Lời giải:
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các yếu tố sau:
-
Diện tích đáy ABCD: Vì ABCD là hình chữ nhật, diện tích đáy là SABCD = AB BC = a a√3 = a2√3.
-
Chiều cao SA: Đây là yếu tố quan trọng để tính thể tích khối chóp. Chúng ta cần sử dụng thông tin về góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) để tìm SA.
Phân tích góc giữa SC và mặt phẳng (SAB): Gọi H là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAB). Góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và SH, tức là góc HSC = 30°.
Hình chóp S.ABCD với đáy là hình chữ nhật và SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và (SAB) là 30 độ
Vì SA vuông góc với đáy, nên SA vuông góc với AB. Do đó, tam giác SAB vuông tại A. Hình chiếu của SC lên (SAB) là SB. Suy ra, góc giữa SC và (SAB) là góc BSC = 30°.
Trong tam giác SBC vuông tại B, ta có:
tan(BSC) = BC/SB => SB = BC / tan(30°) = (a√3) / (1/√3) = 3a
Xét tam giác SAB vuông tại A, ta có:
SA = √(SB2 – AB2) = √((3a)2 – a2) = √(9a2 – a2) = √(8a2) = 2a√2
- Tính thể tích V:
Thể tích khối chóp S.ABCD được tính theo công thức: V = (1/3) SABCD SA = (1/3) a2√3 2a√2 = (2a3√6) / 3.
Vậy, thể tích V của khối chóp S.ABCD là (2a3√6) / 3.
Công thức tính thể tích hình chóp là kiến thức then chốt. Dưới đây là tóm tắt các bước giải:
- Xác định diện tích đáy của hình chóp ABCD.
- Tìm chiều cao của hình chóp, tức khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy (ABCD).
- Áp dụng công thức tính thể tích hình chóp: V = (1/3) Sđáy h.
Các dạng bài tập thường gặp về hình chóp ABCD:
- Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
- Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, AD = 2a, góc BAD = 60°. SA vuông góc với đáy và SA = a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Lời khuyên:
- Vẽ hình minh họa rõ ràng giúp bạn hình dung bài toán tốt hơn.
- Nắm vững các công thức tính diện tích các hình phẳng (hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, tam giác).
- Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau để rèn luyện kỹ năng.
Ứng dụng của việc tính thể tích hình chóp ABCD:
Việc tính thể tích hình chóp ABCD không chỉ là một bài toán hình học mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong kiến trúc, xây dựng, thiết kế và nhiều lĩnh vực khác. Ví dụ, trong xây dựng, việc tính toán thể tích các khối chóp giúp xác định lượng vật liệu cần thiết, đảm bảo tính chính xác và tiết kiệm chi phí.