Bài toán hình học không gian với giả thiết Cho Hai Hình Bình Hành Abcd Và Abef Không Cùng Nằm Trong Một Mặt Phẳng là một dạng bài tập quen thuộc, giúp rèn luyện tư duy không gian và khả năng vận dụng các định lý, tính chất hình học. Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích và giải quyết một bài toán điển hình liên quan đến giả thiết này.
Bài toán: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM/AC = BN/BF. Qua M vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD tại M’, qua N vẽ đường thẳng song song với AB cắt AF tại N’.
a) Chứng minh rằng (MNN’) // (CDE).
b) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng EF tại I. Tính FI/FE, biết AM/AC = 1/3.
Lời giải chi tiết:
a) Chứng minh (MNN’) // (CDE):
-
Theo giả thiết, ta có MM’ // AB và NN’ // AB, suy ra MM’ // NN’. Điều này chứng tỏ M, M’, N’, N cùng thuộc một mặt phẳng.
-
Do ABCD và ABEF là hình bình hành nên CD // AB và EF // AB, suy ra CD // EF. Từ đó, C, D, E, F đồng phẳng.
-
Vì MM’ // AB và AB // CD nên MM’ // CD. Mà CD nằm trong mặt phẳng (CDE), suy ra MM’ // (CDE).
-
Áp dụng định lý Thales trong tam giác ACD, ta có AM/AC = AM’/AD (do MM’ // CD). Tương tự, trong tam giác AFB, ta có BN/BF = AN’/AF (do NN’ // AB).
-
Mà AM/AC = BN/BF (theo giả thiết). Do đó, AM’/AD = AN’/AF, suy ra M’N’ // DF.
-
Vì DF nằm trong mặt phẳng (CDE) nên M’N’ // (CDE).
-
Từ MM’ // (CDE) và M’N’ // (CDE), ta kết luận được (MM’N’) // (CDE), hay (MNN’) // (CDE).
b) Tính FI/FE:
-
Vì AF // BE và AD // BC nên (ADF) // (BCE).
-
Đường thẳng AC cắt ba mặt phẳng song song (ADF), (P), (BCE) lần lượt tại A, M, C; đường thẳng FE cắt ba mặt phẳng này tại F, I, E.
-
Áp dụng định lý Thales trong không gian, ta có AM/MC = FI/IE = AF/CE.
Suy ra FI/FE = AM/AC. -
Mà AM/AC = 1/3 (theo giả thiết), vậy FI/FE = 1/3.
Kết luận:
Với bài toán cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng, chúng ta đã chứng minh được mối quan hệ song song giữa các mặt phẳng và tính được tỉ lệ đoạn thẳng dựa trên định lý Thales trong không gian. Bài toán này giúp củng cố kiến thức về quan hệ song song trong không gian và kỹ năng vận dụng các định lý hình học.
Định lý Thales trong không gian, ứng dụng để giải các bài toán liên quan đến các mặt phẳng song song cắt các đường thẳng.
