Tìm hiểu về cấp số cộng un: Công thức, bài tập và ứng dụng

Cấp số cộng là một trong những khái niệm cơ bản và quan trọng trong chương trình toán học phổ thông và cao cấp. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về cấp số cộng (ký hiệu là u_n), bao gồm định nghĩa, công thức tính số hạng, tổng của n số hạng đầu tiên, cùng với các ví dụ minh họa và ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa cấp số cộng u_n

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d, gọi là công sai của cấp số cộng.

Ví dụ, dãy số 1, 3, 5, 7, 9,… là một cấp số cộng với công sai d = 2.

2. Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng u_n

Cho cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu u₁ và công sai d. Số hạng tổng quát u_n của cấp số cộng được tính theo công thức:

u_n = u₁ + ( n – 1 ) d

Trong đó:

• u_n: Số hạng thứ n của cấp số cộng
• u₁: Số hạng đầu tiên của cấp số cộng
• n: Vị trí của số hạng trong dãy
• d: Công sai của cấp số cộng

Ví dụ: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 2 và d = 5. Tính u₄.

Áp dụng công thức:
u₄ = u₁ + (4 – 1) d = 2 + (3) * 5 = 2 + 15 = 17

Vậy, u₄ = 17.

3. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng u_n

Tổng S_n của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n) được tính theo công thức:

S_n = n/2 ( u₁ + u_n ) hoặc S_n = n/2 [ 2u₁ + ( n – 1 ) d ]

Trong đó:

• S_n: Tổng của n số hạng đầu tiên
• u₁: Số hạng đầu tiên
• u_n: Số hạng thứ n
• n: Số lượng số hạng
• d: Công sai của cấp số cộng

Ví dụ: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 3, d = 2. Tính tổng của 5 số hạng đầu tiên.

Trước tiên, ta tính u₅:
u₅ = u₁ + (5 – 1) d = 3 + (4) * 2 = 3 + 8 = 11

Sau đó, tính S₅:
S₅ = 5/2 (u₁ + u₅) = 5/2 (3 + 11) = 5/2 * 14 = 35

Vậy, tổng của 5 số hạng đầu tiên là 35.

4. Tính chất của cấp số cộng u_n

Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó. Tức là:

u_n = ( u_n-1 + u_n+1 ) / 2

5. Các dạng bài tập thường gặp về cấp số cộng u_n

• Tìm số hạng tổng quát: Cho một vài số hạng đầu và công sai, yêu cầu tìm công thức tổng quát u_n.
• Tính tổng n số hạng đầu tiên: Cho u₁, d, và n, yêu cầu tính S_n.
• Xác định u₁ và d: Cho một vài thông tin về cấp số cộng (ví dụ: u_m = a, u_n = b), yêu cầu tìm u₁ và d.
• Bài toán ứng dụng: Các bài toán liên quan đến thực tế, sử dụng kiến thức về cấp số cộng để giải quyết.

6. Ứng dụng của cấp số cộng u_n

Cấp số cộng có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:

• Tính toán lãi suất đơn: Số tiền lãi nhận được mỗi kỳ là một cấp số cộng.
• Bài toán về chuyển động đều: Quãng đường đi được sau mỗi khoảng thời gian bằng nhau tạo thành một cấp số cộng.
• Thiết kế kiến trúc: Trong một số công trình, khoảng cách giữa các phần tử có thể tuân theo quy luật cấp số cộng để tạo sự cân đối và hài hòa.

7. Ví dụ bài tập nâng cao về cấp số cộng u_n

Bài toán: Xác định số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n) biết rằng u₉ = 5u₂ và u₁₃ = 2u₆ + 5.

Giải:

Ta có hệ phương trình:

1. u₉ = u₁ + 8d = 5u₂ = 5(u₁ + d)
2. u₁₃ = u₁ + 12d = 2u₆ + 5 = 2(u₁ + 5d) + 5

Từ phương trình (1), ta có:
u₁ + 8d = 5u₁ + 5d
=> 4u₁ = 3d => u₁ = (3/4)d

Thay vào phương trình (2), ta có:
(3/4)d + 12d = 2((3/4)d + 5d) + 5
=> (51/4)d = (26/4)d + 5
=> (25/4)d = 5
=> d = 4/5 5 = 4

Suy ra, u₁ = (3/4) * 4 = 3

Vậy, u₁ = 3 và d = 4.

Kết luận:

Hiểu rõ về cấp số cộng u_n, các công thức liên quan, và cách áp dụng chúng vào giải quyết các bài toán là rất quan trọng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích và cần thiết để nắm vững chủ đề này. Hãy luyện tập thêm các bài tập khác nhau để nâng cao kỹ năng giải toán và áp dụng kiến thức vào thực tế một cách hiệu quả.