Hình chóp là một hình học không gian quen thuộc, và việc nắm vững các công thức tính toán liên quan đến nó là rất quan trọng. Bài viết này sẽ tập trung vào một yếu tố then chốt của hình chóp: Chiều Cao Hình Chóp, cùng với các công thức và ví dụ minh họa để bạn đọc có thể hiểu rõ và áp dụng một cách hiệu quả.
Các Khái Niệm Cơ Bản Về Hình Chóp
Trước khi đi sâu vào chiều cao hình chóp, chúng ta cần hiểu rõ về cấu trúc của hình chóp. Một hình chóp được tạo thành từ một đa giác đáy và một điểm không nằm trên mặt phẳng đáy, gọi là đỉnh của hình chóp. Các mặt bên của hình chóp là các tam giác nối đỉnh với các cạnh của đa giác đáy.
Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng vuông góc hạ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt phẳng đáy. Chân của đường vuông góc này gọi là chân đường cao. Vị trí của chân đường cao sẽ quyết định loại hình chóp. Ví dụ, trong hình chóp đều, chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
Công Thức Tính Diện Tích và Thể Tích Hình Chóp
1. Diện tích xung quanh của hình chóp đều:
Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn:
Sxq = p.d (p: nửa chu vi đáy, d: trung đoạn)
2. Diện tích toàn phần của hình chóp:
Diện tích toàn phần của hình chóp bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy:
Stp = Sxq + S (S: diện tích đáy)
3. Thể tích của hình chóp:
Thể tích của hình chóp bằng một phần ba của diện tích đáy nhân với chiều cao hình chóp:
V = 1/3S.h (S: diện tích đáy, h: chiều cao hình chóp)
Công thức tính diện tích xung quanh (Sxq) và diện tích toàn phần (Stp) của hình chóp đều, trong đó p là nửa chu vi đáy và d là trung đoạn.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh đáy là 8cm, chiều cao hình chóp là 10cm.
- Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp.
- Tính thể tích của hình chóp.
Lời giải:
Ta có ABCD là hình vuông, khi đó nửa chu vi bằng: p = (8+8+8+8)/2 = 16 (cm)
BD = AC = √ (82 + 82) = 8√ 2 ( cm ) ⇒ AO = BO = CO = DO = 4√ 2 ( cm )
Hình vẽ minh họa các đường chéo và các yếu tố trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
- Diện tích xung quanh của hình chóp đều là Sxq = p.d = p.OB = 16.4√ 2 = 64√ 2 ( cm2 ).
- Diện tích toàn phần của hình chóp đều là Stp = Sxq + SABCD = 64√ 2 + 82 = 64 + 64√ 2 ( cm2 )
- Thể tích của hình chóp đều là V = 1/3S.h = 1/3.SABCD.SO = 1/3.82.10 = 640/3( cm3 )
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Một hình chóp đều có độ dài cạnh bên là 25cm, đáy là hình vuông ABCD có cạnh bằng 30cm. Tính diện tích toàn phần của hình chóp.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC thì SM là đường cao của mặt bên SBC (vì tam giác SBC cân tại S)
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + Sd
Ta có: p = (30 + 30 + 30 + 30)/2 = 60( cm )
Hình vẽ mô tả hình chóp đều S.ABCD với các kích thước cạnh đáy và cạnh bên được cho, cùng điểm M là trung điểm của cạnh BC.
Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác SCM vuông tại M
SC2 = CM2 + SM2 ⇒ 252 = 152 + SM2 ⇔ SM2 = 202 ⇔ SM = 20( cm )
Do đó: Sxq = 60.20 = 1200( cm2 ) ⇒ Stp = 1200 + 900 = 2100( cm2 )
Bài 2: Tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao hình chóp bằng 2a.
Lời giải:
Hình vẽ hình chóp tam giác đều S.ABC với đường cao SH và trung điểm M của cạnh BC.
Xét hình chóp S.ABC có AB = AC = BC = a và SH = 2a.
Gọi M là trung điểm của BC thì AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, vừa là đường phân giác của tam giác đều ABC nên AM ⊥ BC và HM = 1/3AM.
Áp dụng định lý Py – ta – go vào tam giác vuông ABM vuông tại M ta được:
AB2 = BM2 + AM2 ⇒ a2 = ( a/2 )2 + AM2
Công thức tính chiều cao AM của tam giác đều ABC cạnh a, sử dụng định lý Pythagoras.
Do đó HM = (a√3) /6.
Áp dụng định lí Py – ta – go vào tam giác vuông SHM vuông tại H, ta có:
SM2 = HM2 + SH2 ⇒ SM2 = ( (a√3) /6 )2 + ( 2a )2
Công thức tính độ dài cạnh SM dựa trên HM và SH, áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông SHM.
Áp dụng công thức: Stp = Sxq + Sd
Ta có: p = (a + a + a)/2 = 3a/2
Công thức tính diện tích xung quanh Sxq và diện tích toàn phần Stp của hình chóp tam giác đều.
Các bước biến đổi và đơn giản hóa biểu thức để tính diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều.
Kết Luận
Hiểu rõ về chiều cao hình chóp và các công thức liên quan là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học không gian. Hy vọng rằng, với những kiến thức và ví dụ minh họa trên, bạn đọc sẽ tự tin hơn trong việc chinh phục các bài toán về hình chóp.
