Bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức về Cạnh Huyền Cạnh Góc Vuông và các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, từ đó giải quyết các bài toán liên quan một cách nhanh chóng và hiệu quả.
Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là kiến thức nền tảng, kết hợp giữa khái niệm tam giác bằng nhau và đặc điểm của tam giác vuông. Nắm vững những kiến thức này, các em sẽ tự tin chinh phục mọi bài tập hình học liên quan.
1. Thế nào là hai tam giác bằng nhau?
Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi tất cả các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của chúng đều bằng nhau.
Hình ảnh minh họa hai tam giác bằng nhau với các cạnh và góc tương ứng được đánh dấu.
2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông
Tam giác vuông có một góc vuông, đây là một đặc điểm quan trọng. Để chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, ta chỉ cần chứng minh thêm hai yếu tố chung nữa. Dưới đây là các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông:
2.1 Hai cạnh góc vuông
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (cạnh – góc – cạnh).
2.2 Cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh đó
Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (góc – cạnh – góc).
2.3 Cạnh huyền và góc nhọn
Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (góc – cạnh – góc).
Hình ảnh minh họa hai tam giác vuông bằng nhau khi có cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau.
2.4 Cạnh huyền và cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Đây là trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông.
Hình ảnh minh họa hai tam giác vuông bằng nhau khi có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau.
3. Các dạng bài tập thường gặp về tam giác vuông bằng nhau
Để hiểu rõ hơn về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, chúng ta hãy cùng xét một số dạng bài tập thường gặp:
3.1 Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau
Ở dạng bài này, ta xét hai tam giác vuông và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn một trong các trường hợp bằng nhau đã nêu ở trên hay không (cạnh – góc – cạnh, góc – cạnh – góc, cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông).
3.2 Chứng minh các đoạn thẳng hoặc góc bằng nhau
Dạng bài này vận dụng kiến thức về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông. Nếu chứng minh được hai tam giác bằng nhau, ta có thể suy ra các đoạn thẳng và các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau.
Khi gặp bài toán liên quan đến tam giác vuông, hãy tìm thêm hai điều kiện bằng nhau (trong đó phải có ít nhất một điều kiện về cạnh) để chứng minh hai tam giác đó bằng nhau, từ đó suy ra các yếu tố khác.
3.3 Tìm thêm điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau
Đọc kỹ đề bài, vẽ hình và xem xét các yếu tố đã cho. Sau đó, xác định xem cần bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác vuông đó có thể bằng nhau theo một trong các trường hợp đã biết.
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ MH vuông góc với NP. Chứng minh:
a) HN = HP
b) góc NMH = góc PMH
Lời giải:
a) Xét hai tam giác vuông ΔMNH và ΔMPH, ta có:
- MN = MP (giả thiết)
- MH là cạnh chung
=> ΔMNH = ΔMPH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> HN = HP (hai cạnh tương ứng)
b) Vì ΔMNH = ΔMPH (chứng minh trên) nên góc NMH = góc PMH (hai góc tương ứng)
Ví dụ 2:
Cho hai tam giác vuông ABC và MNP có góc A = góc M = 90°, AC = MP. Cần thêm điều kiện gì để ΔABC = ΔMNP?
Lời giải:
- Nếu thêm AB = MN thì ΔABC = ΔMNP (cạnh – góc – cạnh)
- Nếu thêm góc C = góc P thì ΔABC = ΔMNP (góc – cạnh – góc)
- Nếu thêm BC = NP thì ΔABC = ΔMNP (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
5. Bài tập tự luyện
Bài 1: Phát biểu và vẽ hình minh họa các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, đặc biệt chú ý trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông.
Bài 2: Cho tam giác ABC và DEF có góc A = góc D = 90°, góc C = góc F. Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác DEF bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông – góc nhọn kề?
A. AC = DF
B. AB = DE
C. BC = EF
D. AC = DE
Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ BE và CD lần lượt là đường cao vuông góc với AC, AB. Chứng minh rằng hai tam giác BCD và CBE bằng nhau, biết BD = EC.
Hi vọng với những kiến thức và bài tập trên, các bạn sẽ nắm vững các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông, đặc biệt là trường hợp cạnh huyền cạnh góc vuông, và tự tin giải quyết mọi bài toán hình học liên quan.
