Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích biểu thức lặp vô hạn dưới dạng căn bậc hai, đặc biệt tập trung vào trường hợp “Căn X + Căn X” vô hạn, ký hiệu là f_1(x). Chúng ta sẽ khám phá khai triển chuỗi lũy thừa của nó xung quanh điểm 0 và vô cùng, đồng thời tìm hiểu về tính chất đại số của hàm số này.
Để đơn giản hóa, ta định nghĩa:
f_k(x) = √(x^k + √(x^(k+1) + √(x^(k+2) + …))) = √(x^k + f_{k+1}(x))
trong đó k là số nguyên không âm (k ≥ 0). Hàm số được đề cập trong câu hỏi ban đầu chính là f_1(x).
Khai Triển Chuỗi Lũy Thừa Tại 0
Xét trường hợp x tiến gần 0 (0 < x << 1). Khi đó, với k > 1, thành phần f_{k+1}(x) = √(x^(k+1) + f_{k+2}(x)) sẽ chiếm ưu thế so với x^k trong biểu thức √(x^k + f_{k+1}(x)). Điều này xảy ra vì x^k nhỏ hơn nhiều so với x^((k+1)/2). Tương tự, x^(k+1) lại bị lấn át bởi f_{k+2}(x), và cứ tiếp tục như vậy. Do đó, ta có thể xấp xỉ f_k(x) ≈ √(f_{k+1}(x)) ≈ √(√(f_{k+2}(x))) … Lấy căn bậc hai liên tục của một giá trị dương sẽ dần tiến tới 1. Từ đó, ta có giả thuyết rằng khi 0 < x << 1, thì f_k(x) ≈ 1.
Thay thế f_{m+1}(x) bằng 1 trong biểu thức lặp vô hạn, ta có các biểu thức riêng phần (k, m ∈ ℤ, 0 ≤ k ≤ m):
f_{k,m}(x) := √(x^k + √(x^(k+1) + √(x^(k+2) + …√(x^m + 1))))
Và ta có thể định nghĩa:
f_k(x) := lim (m→∞) f_{k,m}(x)
nếu giới hạn này tồn tại.
Dễ thấy rằng f_{k,m}(x) = 1 + O(x^k). Bắt đầu từ f_{m,m}(x) = √(x^m + 1) = 1 + O(x^m) và tiến hành quy nạp giảm dần theo k: f_{k,m}(x) = √(x^k + f_{k+1,m}(x)) = √(x^k + 1 + O(x^(k+1))) = 1 + O(x^k).
Điều này có nghĩa là với bất kỳ m’ > m:
f_{k,m’}(x) = √(x^k + √(x^(k+1) + √(x^(k+2) + …√(x^m + f_{m+1,m’}(x)))))
= √(x^k + √(x^(k+1) + √(x^(k+2) + …√(x^m + 1 + O(x^(m+1))))))
= f_{k,m}(x) + O(x^(m+1))
Do đó:
f_k(x) = lim (m’→∞) f_{k,m’}(x) = f_{k,m}(x) + O(x^(m+1)).
Các số hạng của khai triển chuỗi lũy thừa của f_k(x) đến bậc x^m được xác định bởi khai triển chuỗi lũy thừa của f_{k,m}(x). Ví dụ, kết quả cho f_1(x) đến bậc x^20 là:
f_1(x) = 1 + (1/2)x + (1/8)x^2 + (1/16)x^3 – (5/128)x^4 – (5/256)x^5 – (19/1024)x^6 + (13/2048)x^7 – (397/32768)x^8 + (243/65536)x^9 + (79/262144)x^10 + (6415/524288)x^11 + (10959/4194304)x^12 – (6321/8388608)x^13 – (283323/33554432)x^14 + (171429/67108864)x^15 + (4224323/2147483648)x^16 + (22138947/4294967296)x^17 – (25215333/17179869184)x^18 – (83594725/34359738368)x^19 – (1538702507/274877906944)x^20 + O(x^21).
Alt text: Đồ thị biểu diễn khai triển chuỗi lũy thừa của hàm số căn x + căn x vô hạn xung quanh điểm 0, minh họa sự hội tụ của chuỗi gần gốc tọa độ.
Phân Tích Khi x Lớn
Để phân tích hành vi của f_k(x) khi x dương lớn, ta xét:
f_k(x^(-2)) = √(x^(-2k) + √(x^(-2k-2) + √(x^(-2k-4) + …)))
= x^(-k)√(1 + x^(k-1)√(1 + x^k√(1 + x^(k+1)√(1 + …))))
= x^(-k)g_{k-1}(x),
trong đó 0 < x << 1 và:
g_k(x) = √(1 + x^k√(1 + x^(k+1)√(1 + x^(k+2)√(1 + …))))
Đặt:
g_{k,m}(x) := √(1 + x^k√(1 + x^(k+1)√(1 + …x^(m-1)√(1 + x^m))))
Và ta có thể định nghĩa:
g_k(x) := lim (m→∞) g_{k,m}(x)
Ta thấy rằng g_{k,m}(x) = 1 + O(x^k) và với bất kỳ m’ > m:
g_{k,m’}(x) = √(1 + x^k√(1 + x^(k+1)√(1 + …x^(m-1)√(1 + x^m g_{m+1,m’}(x)))))
= √(1 + x^k√(1 + x^(k+1)√(1 + …x^(m-1)√(1 + x^m(1 + O(x^(m+1)))))))
= g_{k,m}(x) + O(x^((k+m+1)(m+2-k)/2)),
Do đó, khai triển chuỗi lũy thừa của g_k(x) đến bất kỳ bậc nào có thể được xác định bởi khai triển chuỗi lũy thừa của g_{k,m}(x) với m đủ lớn. Ví dụ, để xác định g_1(x) đến bậc x^20, việc khai triển g_{1,5}(x) là đủ:
g_1(x) = 1 + (1/2)x – (1/8)x^2 + (5/16)x^3 – (21/128)x^4 + (15/256)x^5 + (27/1024)x^6 + (157/2048)x^7 – (4237/32768)x^8 + (1627/65536)x^9 + (15585/262144)x^10 + (20179/524288)x^11 – (420737/4194304)x^12 + (136155/8388608)x^13 + (606675/33554432)x^14 + (3116173/67108864)x^15 – (166576957/2147483648)x^16 + (258982675/4294967296)x^17 – (117088187/17179869184)x^18 – (516645801/34359738368)x^19 – (23704687899/274877906944)x^20 + O(x^21)
và
g_0(x) = √(1 + g_1(x)) = √2 (1 + (1/8)x – (5/128)x^2 + (85/1024)x^3 – (1709/32768)x^4 + (6399/262144)x^5 – (8145/4194304)x^6 + (828477/33554432)x^7 – (83481725/2147483648)x^8 + (231319419/17179869184)x^9 + (2532368405/274877906944)x^10 + (29815364515/2199023255552)x^11 – (2122499603177/70368744177664)x^12 + (5230968689963/562949953421312)x^13 + (7443547207831/9007199254740992)x^14 + (1141411701025037/72057594037927936)x^15 – (231372106336231965/9223372036854775808)x^16 + (1498156069006490195/73786976294838206464)x^17 – (8082528897875176135/1180591620717411303424)x^18 + (18359172053830212871/9444732965739290427392)x^19 – (8183042653064552822819/302231454903657293676544)x^20 + O(x^21)).
Từ đó, ta có thể suy ra hành vi của f_1(x) = √x g_0(1/√x) khi x lớn:
f_1(x) = √(2x) (1 + (1/8√(x)) – (5/128x) + (85/1024 √(x^3)) – (1709/32768 x^2) + (6399/262144√(x^5)) – …).
Alt text: Biểu đồ thể hiện chuỗi lũy thừa của hàm g_1(x) khi x có giá trị lớn, làm nổi bật sự biến đổi của hàm số khi x tăng lên.
Tổng Quát Hóa và Nhận Xét
Đáng chú ý là, công thức đệ quy:
g_k(x)^r = (1 + x^k g_{k+1}(x))^(r/2) = Σ (a=0 to ∞) (r/2 choose a) x^(ak) g_{k+1}(x)^a
có thể được sử dụng để thu được, với k ≥ 1, r ≥ 0, biểu thức:
g_k(x)^r = Σ (a_1=0 to ∞) Σ (a_2=0 to ∞) Σ (a_3=0 to ∞) … (r/2 choose a_1) (a_1/2 choose a_2) (a_2/2 choose a_3) … x^(a_1 k + a_2(k+1) + a_3(k+2) + …),
Sao cho các hệ số của:
g_1(x) = Σ (r=0 to ∞) c_r x^r
có thể được viết dưới dạng:
c_r = Σ (a_1) Σ (a_2) Σ (a_3) … (1/2 choose a_1) (a_1/2 choose a_2) (a_2/2 choose a_3) …,
Trong đó, với r cố định, các biến tổng được giới hạn trong a_i ≥ 0 và Σ i a_i = r, sao cho tổng thực tế là hữu hạn. Và bởi vì các hệ số nhị thức (0 choose a) bằng 0 với a > 0, và tổng quát hơn (a_i/2 choose a_{i+1}) = 0 với a_i chẵn và a_{i+1} > a_i/2, các số hạng của tổng chỉ khác 0 đối với các giá trị (a_1, a_2, …) mà với mỗi a_i chẵn, a_{i+1} ≤ a_i/2.
Các khai triển chuỗi lũy thừa cho thấy rằng không có biểu thức đơn giản cho hàm số f_1(x). Tuy nhiên, điều này không loại trừ khả năng nó là một hàm đại số, tức là có thể tồn tại một đa thức p(x, y) với hai biến x và y sao cho p(x, f_1(x)) = 0.
Tóm lại, việc phân tích “căn x + căn x” vô hạn đã dẫn đến những khám phá thú vị về khai triển chuỗi lũy thừa và hành vi của hàm số này trong các trường hợp giới hạn. Mặc dù chưa tìm ra biểu thức đơn giản, nhưng những kết quả này cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc và tính chất của nó.
