Để giải quyết các bài toán liên quan đến căn bậc hai, việc nắm vững điều kiện xác định của biểu thức chứa căn là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức và bài tập về chủ đề “Căn A Xác định Khi Nào”, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán.
Điều Kiện Xác Định Của Căn Thức
Nắm vững hai nguyên tắc sau để xác định điều kiện của biến số trong căn thức:
- Căn bậc hai của A (√A) xác định ⇔ A ≥ 0 (biểu thức dưới dấu căn phải không âm).
- Phân thức A/B xác định ⇔ B ≠ 0 (mẫu thức phải khác không).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của x cho các biểu thức sau:
a) √(-7x)
b) √(2x + 6)
Hướng dẫn giải:
a) √(-7x) xác định ⇔ -7x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0.
b) √(2x + 6) xác định ⇔ 2x + 6 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -6 ⇔ x ≥ -3.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √(x + 2)(x – 3)
b) √(x4 – 16)
c) 1/(x + 5)
Hướng dẫn giải:
a) √(x + 2)(x – 3) xác định ⇔ (x + 2)(x – 3) ≥ 0.
Vậy điều kiện xác định là x ≥ 3 hoặc x ≤ -2.
b) √(x4 – 16) xác định ⇔ x4 – 16 ≥ 0 ⇔ (x2 – 4)(x2 + 4) ≥ 0 ⇔ (x – 2)(x + 2)(x2 + 4) ≥ 0 ⇔ (x – 2)(x + 2) ≥ 0 (vì x2 + 4 > 0).
Vậy điều kiện xác định là x ≥ 2 hoặc x ≤ -2.
c) 1/(x + 5) xác định ⇔ x + 5 ≠ 0 ⇔ x ≠ -5.
Vậy điều kiện xác định là x ≠ -5.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức M = √(1 – √(x)).
Hướng dẫn giải:
Biểu thức M xác định khi:
- √(x) xác định ⇔ x ≥ 0 (*)
- 1 – √(x) ≥ 0 ⇔ √(x) ≤ 1 ⇔ x ≤ 1 (**)
Từ (*) và (**) suy ra 0 ≤ x ≤ 1. Vậy điều kiện xác định của biểu thức là 0 ≤ x ≤ 1.
Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức P = √(a) / √(3 – a) + √(a + 1).
Hướng dẫn giải:
Biểu thức P xác định khi:
- a ≥ 0 (*)
- 3 – a > 0 ⇔ a < 3 (**)
- a + 1 ≥ 0 ⇔ a ≥ -1 (***)
- √(a) / √(3 – a) ≠ 4 (****)
Giải (****) √(a) / √(3 – a) ≠ 4 => a/(3-a) ≠ 16 => a ≠ 3 – 16a => 17a ≠ 3 => a ≠ 3/17
Kết hợp (), (), (), (****) ta có: 0 ≤ a < 3 và a ≠ 3/17.
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Bài 1: Biểu thức √(x-1) xác định khi nào?
A. x ≤ 1 B. x ≥ 1 C. x > 1 D. x < 1
Đáp án: B
Giải thích: √(x-1) xác định ⇔ x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Bài 2: Biểu thức √(-(x-1)2) xác định khi nào?
A. x ≥ 1 B. x ≤ 1 C. x = 1 D. x ∈ ∅
Đáp án: C
Bài 3: Biểu thức √(x/(x-1)) xác định khi nào?
A. x ≥ 3 và x ≠ -1 B. x ≤ 0 và x ≠ 1 C. x ≥ 0 và x ≠ 1 D. x ≤ 0 và x ≠ -1
Đáp án: D
Bài 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức 1/√(x – 2) xác định?
A. x ≠ 2 B. x ≤ 2 C. x > 2 D. x ≥ 2
Đáp án: C
Bài 5: Biểu thức √(x/(4-x)) xác định khi nào?
A. x ≥ -4 B. x ≥ 0 và x ≠ 4 C. x ≥ 0 D. x = 4
Đáp án: B
Bài 6: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa?
a) √(-x)
b) √(2x + 3)
c) √(5 – 2x)
d) 1/(x – 1)
Hướng dẫn giải:
a) √(-x) xác định ⇔ -x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0
b) √(2x + 3) xác định ⇔ 2x + 3 ≥ 0 ⇔ 2x ≥ -3 ⇔ x ≥ -3/2
c) √(5 – 2x) xác định ⇔ 5 – 2x ≥ 0 ⇔ 2x ≤ 5 ⇔ x ≤ 5/2
d) 1/(x – 1) xác định ⇔ x – 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1
Bài 7: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √(2x + 1)(x – 2)
b) √((x + 3)(3 – x))
c) √( |x + 2| )
d) √((x – 1)(x – 2)(x – 3))
Hướng dẫn giải:
a) √(2x + 1)(x – 2) xác định ⇔ (2x + 1)(x – 2) ≥ 0
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị x ≥ 2 hoặc x ≤ -1/2.
b) √((x + 3)(3 – x)) xác định ⇔ (x + 3)(3 – x) ≥ 0
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị x thỏa mãn -3 ≤ x ≤ 3.
c) √( |x + 2| ) xác định ⇔ |x + 2| ≥ 0 (thỏa mãn với mọi x)
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của x.
d) √((x – 1)(x – 2)(x – 3)) xác định ⇔ (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≥ 0.
Ta có bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu nhận thấy (x – 1)(x – 2)(x – 3) ≥ 0 nếu 1 ≤ x ≤ 2 hoặc x ≥ 3.
Bài 8: Khi nào các biểu thức sau tồn tại?
a) √((a – 2)2)
b) √(a2 + 1)
c) √((a – 3)(a + 3))
d) √(1/(a2 + 4))
Hướng dẫn giải:
a) √((a – 2)2) xác định ⇔ (a – 2)2 ≥ 0 (đúng với mọi a)
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của a.
b) √(a2 + 1) xác định với mọi a.
Vậy biểu thức xác định với mọi giá trị của a.
c) √((a – 3)(a + 3)) xác định ⇔ (a – 3)(a + 3) ≥ 0
Vậy biểu thức xác định với các giá trị a ≥ 3 hoặc a ≤ -3.
d)Ta có: a2 + 4 > 0 với mọi a nên biểu thức √(1/(a2 + 4)) luôn xác định với mọi a.
Bài 9: Mỗi biểu thức sau xác định khi nào?
a) √(1/(x – 2))
b) √(1/(x2 – 3x + 2))
c) √((x -1) / (x + 2))
Hướng dẫn giải:
a) √(1/(x – 2)) xác định ⇔ 1/(x – 2) > 0 ⇔ x – 2 > 0 ⇔ x > 2.
b) √(1/(x2 – 3x + 2)) xác định ⇔ x2 – 3x + 2 > 0 ⇔ (x – 2)(x – 1) > 0
Vậy biểu thức xác định khi x > 2 hoặc x < 1.
c) √((x -1) / (x + 2)) xác định khi:
- (x -1) / (x + 2) ≥ 0 (*)
- x + 2 ≠ 0 (**)
Giải (*): x ≥ 1 hoặc x < -2
Giải (**): x ≠ -2
Kết hợp (*) và (**) ta được x ≥ 1 hoặc x < -2.
Bài 10: Tìm điều kiện xác định của biểu thức P = √((x + 1) / (x – 3)).
Hướng dẫn giải:
Biểu thức P xác định khi:
- (x + 1) / (x – 3) ≥ 0
- x – 3 ≠ 0
Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là x ≥ -1 và x ≠ 3.
Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √(x−2) / (5−x)
b) √(-3x) / (x2−1)
c) √(3x−2) / (x2−2x+4)
d) √(7−x) − 1/(√(x+1)+1)
Bài 2. Cho hai biểu thức A = √(x+2)/(x+3) và B = (√(x+2))/(x+3).
a) Tìm điều kiện xác định của A và B;
b) Với giá trị nào của x thì A = B?
(Các bài tập còn lại tương tự, tập trung vào việc xác định điều kiện A ≥ 0 và B ≠ 0)
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách xác định điều kiện để căn thức có nghĩa và giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng. Chúc bạn thành công!
