A. Tổng Quan Lý Thuyết và Ví Dụ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Đồ thị dao động cơ
Phương trình dao động điều hòa có dạng tổng quát: x = Acos(ωt + φ), trong đó φ là pha ban đầu. Để hiểu rõ hơn về đồ thị dao động, ta xét trường hợp đơn giản khi φ = 0, tức là gốc thời gian được chọn sao cho vật bắt đầu dao động từ vị trí biên dương. Khi đó, đồ thị biểu diễn sự biến thiên của li độ x theo thời gian t sẽ có dạng hình sin.
Đồ thị này cho thấy li độ x biến thiên tuần hoàn giữa -A và A, với chu kỳ T.
2. Đồ thị và so sánh pha của các đại lượng x, v, a
Khi dao động điều hòa, li độ (x), vận tốc (v) và gia tốc (a) đều biến thiên theo thời gian dưới dạng hàm sin hoặc cos.
- Vận tốc v nhanh pha hơn li độ x một góc π/2 (T/4).
- Gia tốc a nhanh pha hơn vận tốc v một góc π/2 (T/4).
- Gia tốc a ngược pha với li độ x.
3. Đồ thị x, v và a trên cùng một hệ trục tọa độ
Việc biểu diễn đồ thị của x, v và a trên cùng một hệ trục giúp ta dễ dàng so sánh pha và biên độ của chúng.
4. Đồ thị năng lượng trong dao động điều hòa
a. Bảo toàn cơ năng: Trong dao động điều hòa không có ma sát, cơ năng được bảo toàn.
b. Thế năng:
Thế năng của con lắc lò xo: Et = 1/2 kx² = 1/2 kA²cos²(ωt + φ)
c. Động năng:
Động năng: Eđ = 1/2 mv² = 1/2 mω²A²sin²(ωt + φ)
d. Cơ năng:
Cơ năng: E = Eđ + Et = 1/2 kA² = hằng số
II. Phương pháp xác định phương trình từ đồ thị
Để viết được phương trình dao động điều hòa từ đồ thị, ta cần xác định các yếu tố sau:
a. Biên độ (A): Giá trị lớn nhất của li độ trên đồ thị.
- xmax = A
- vmax = ωA
- amax = ω²A
b. Pha ban đầu (φ):
Tại t = 0: x = Acosφ. Dựa vào chiều biến thiên của đồ thị tại t = 0 (x tăng hay giảm) để xác định dấu của φ.
c. Chu kỳ (T) và tần số góc (ω):
Chu kỳ T là khoảng thời gian giữa hai điểm gần nhất trên đồ thị có cùng trạng thái dao động. Từ đó, ta tính được tần số góc ω = 2π/T.
Lưu ý:
- Đồ thị x, v, a biến thiên điều hòa theo hàm sin, cos với chu kỳ T.
- Đồ thị động năng, thế năng biến thiên tuần hoàn với chu kỳ T/2.
Tóm tắt các bước giải bài tập đồ thị:
- Tìm biên độ A, ωA hoặc ω²A từ trục tung.
- Tìm chu kỳ T dựa vào sự lặp lại trên trục thời gian.
- Xác định pha ban đầu φ từ giá trị x, v, a tại thời điểm t.
- Sử dụng đường tròn lượng giác để hỗ trợ.
2. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho đồ thị dao động điều hòa như hình vẽ:
a) Tính A, ω, T, f.
b) Tính φ.
c) Viết phương trình dao động.
d) Phương trình vận tốc.
e) Phương trình gia tốc.
f) Sau những khoảng thời gian liên tiếp bằng bao nhiêu thì động năng lại bằng thế năng.
Lời giải:
a) A = 10cm. Tại t = 0, x = 5cm và đang tăng.
x = Acosφ → cosφ = 1/2 → φ = ±π/3. Vì x đang tăng nên chọn φ = -π/3.
Thời gian đi từ x = 5 đến x = 10 là T/6 = 1/6 s. Vậy: ω = 2π rad/s, f = 1 Hz.
b) φ = -π/3.
c) Phương trình dao động: x = 10cos(2πt – π/3) cm.
d) Phương trình vận tốc: v = -20πsin(2πt – π/3) cm/s = 20πcos(2πt + π/6) cm/s
e) Phương trình gia tốc: a = -40π²cos(2πt – π/3) cm/s² = 40π²cos(2πt + 2π/3) cm/s²
f) Động năng bằng thế năng khi x = ±A/√2. Thời gian giữa hai lần liên tiếp động năng bằng thế năng là T/8 = 1/8 s.
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, li độ x1 và x2 phụ thuộc vào thời gian như hình vẽ. Phương trình dao động tổng hợp là:
Lời giải:
Từ đồ thị: A1 = 6cm, φ1 = 0; A2 = 6√3 cm, φ2 = π/2.
Phương trình dao động tổng hợp: x = 12cos(ωt + π/3)
Chọn đáp án B
B. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 4cos(5πt + π/2) cm. Đồ thị tọa độ – thời gian của vật là hình nào dưới đây?
Lời giải:
Khi t = 0, vật đang đi qua VTCB theo chiều âm.
Chu kì dao động: T = 2π/ω = 0,4 s. Biên độ: A = 4 cm.
Chọn đáp án A
Câu 2. Cho hai dao động điều hoà, có li độ x1 và x2 như hình vẽ. Tổng tốc độ của hai dao động ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất là:
A. 140π cm/s.
B. 100π cm/s.
C. 200π cm/s.
D. 280π cm/s.
Lời giải:
Cách 1: Chu kỳ dao động T = 0,1s. Tần số góc ω = 20π rad/s.
Phương trình dao động của hai vật: x1 = 6cos(20πt + π/2) cm và x2 = 8cos(20πt) cm.
Hai dao động vuông pha nhau nên vận tốc của hai vật cũng vuông pha nhau.
Khi đó: v = v1 + v2 = 200πcos(20πt + φ) cm/s. Suy ra: vmax = 200π cm/s.
Chọn đáp án C
Câu 3. Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4π cm/s. Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5.
A. 4s. B. 3,25s.
C. 3,75. D. 3,5s.
Lời giải:
Cách 1: Ta có: v2max = ωA = 4π cm/s
Chu kì chất điểm 2: T2 = 2π/ω = 2 s. Chu kì chất điểm 1: T1 = T2/2 = 1,5s
Phương trình dao động của hai chất điểm: x1 = 2cos(4π/3 t – π/2) và x2 = 4cos(πt).
Hai chất điểm có cùng li độ khi:
Có hai họ nghiệm t1 = 3k1 (s) với k1 = 1, 2, 3…. Và t2 = k2 + 0,5 (s) với k2 = 0, 1, 2…
Các thời điểm x1 = x2:
| Lần gặp nhau | Lúc đầu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Thời điểm t(s) | 0 | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4,5 |
Chọn đáp án D
Câu 4. Một vật có khối lượng m =100g, đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa được mô tả bởi đồ thị hình vẽ. Lực hồi phục cực đại tác dụng lên vật có giá trị là:
A. 10N B. 8N
C. 6N D. 4N
Lời giải:
Từ đồ thị ta có:
Phương trình dao động của vật có đồ thị x – t (1) và vật có đồ thị x – t (2) là:
Vì x1 vuông pha x2 nên ta có dao động tổng hợp có biên độ:
Lực hồi phục cực đại tác dụng lên vật là: Fhp max = m.ω2.A2 = 0,1.(10π)2.0,12 = 10N
Chọn đáp án A
Câu 5. Có hai dao động điều hòa (1) và (2) được biểu diễn bằng hai đồ thị như hình vẽ. Đường nét đứt là của dao động (1) và đường nét liền của dao động (2). Hãy xác định độ lệch pha giữa dao động (2) với dao động (1) và chu kì của hai dao động.
Lời giải:
Lúc t = 0 dao động (1) đang đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương nên:
Lúc t = 0 dao động (2) đang đi qua vị trí theo chiều dương nên:
Độ lệch pha của hai dao động:
Chu kì: T/2 = 0,5s → T = 1s
Chọn đáp án B
(Các câu hỏi và lời giải còn lại được giữ nguyên theo bài viết gốc)
C. Bài tập bổ sung
(Các câu hỏi được giữ nguyên theo bài viết gốc)
