Góc giữa hai đường thẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian lớp 11. Việc xác định và tính toán góc này không chỉ giúp giải quyết các bài toán hình học mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
1. Định Nghĩa và Phương Pháp Xác Định Góc Giữa Hai Đường Thẳng
- Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng m và n trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với m và n. Ký hiệu: (m, n).
- Giá trị: Góc giữa hai đường thẳng luôn nằm trong khoảng từ 0° đến 90°.
Để xác định góc giữa hai đường thẳng, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau:
-
Cách 1: Dựa vào định nghĩa. Chọn một điểm chung hoặc dựng các đường thẳng song song để đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau.
-
Cách 2: Sử dụng đường thẳng song song. Nếu hai đường thẳng a và b không cắt nhau, ta có thể chọn một điểm O trên a và vẽ đường thẳng a’ đi qua O và song song với b. Khi đó, góc giữa a và b bằng góc giữa a và a’: (a, b) = (a, a’).
-
Cách 3: Sử dụng tích vô hướng của vector chỉ phương. Đây là phương pháp thường được sử dụng khi biết tọa độ hoặc phương trình đường thẳng.
-
Tìm hai vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_1}$, $overrightarrow{u_2}$ của hai đường thẳng d1, d2.
-
Áp dụng công thức:
cos(d1, d2) = $frac{|overrightarrow{u_1} . overrightarrow{u_2}|}{|overrightarrow{u_1}| . |overrightarrow{u_2}|}$
Từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng.
-
Alt text: Biểu thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 thông qua tích vô hướng và độ dài của các vector chỉ phương u1 và u2.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = 2AB. Tính góc giữa các đường thẳng AD và A’B’.
Hướng dẫn giải:
Vì A’B’ song song với AB (do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật) nên (AD, A’B’) = (AD, AB).
Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD vuông góc với AB.
Vậy (AD, A’B’) = 90°.
Alt text: Hình vẽ minh họa hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ sử dụng trong bài toán tính góc giữa đường thẳng AD và A’B’, giúp hình dung không gian.
Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = $frac{asqrt{3}}{2}$ (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BD. Ta có MI, NI, MJ, NJ lần lượt là các đường trung bình của tam giác ABC, BCD, ACD và ABD.
Suy ra MI = NI = MJ = NJ = $frac{1}{2}$AB = $frac{1}{2}$CD = $frac{a}{2}$
MI // AB; CD // NI nên (AB, CD) = (IM, IN) = $widehat{MIN}$ .
MINJ là hình thoi. Gọi O là giao điểm của MN và IJ. Khi đó MN vuông góc với IJ tại O và O là trung điểm của IJ.
Suy ra IO = $frac{IJ}{2}$ = $frac{asqrt{3}}{4}$.
Xét tam giác MIO vuông tại O có cos$widehat{MIO}$ = $frac{IO}{MI}$ = $frac{frac{asqrt{3}}{4}}{frac{a}{2}}$ = $frac{sqrt{3}}{2}$ => $widehat{MIO}$ = 30° => $widehat{MIN}$ = 60°.
Vậy (AB, CD) = 60°.
Alt text: Mô tả hình tứ diện ABCD, các điểm trung điểm I, J trên BC, AD và M, N trên AC, BD được dùng để tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD, sử dụng tính chất đường trung bình.
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $widehat{BAC}$ = $widehat{BAD}$ = 60°, $widehat{CAD}$ = 90°. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD} = overrightarrow{AB}.(overrightarrow{AD} – overrightarrow{AC}) = overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD} – overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC}$
= |$overrightarrow{AB}$|.|$overrightarrow{AD}|.cos$widehat{BAD}$ – |$overrightarrow{AB}$|.|$overrightarrow{AC}|.cos$widehat{BAC}$
Vì AB = AC = AD và $widehat{BAC}$ = $widehat{BAD}$ = 60° nên $overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}$ = 0.
Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°.
Alt text: Hình vẽ tứ diện ABCD, với các cạnh AB, AC, AD bằng nhau và các góc BAC, BAD bằng 60 độ, CAD bằng 90 độ, dùng để minh họa bài toán tìm góc giữa AB và CD.
3. Bài Tập Tự Luyện
Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào sau đây?
A. $widehat{BDB’}$
B. $widehat{AB’C}$
C. $widehat{DB’B}$
D. $widehat{DA’C’}$
Câu 2. Cho tứ diện đều ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Số đo góc giữa hai đường thẳng CD và AB là:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 3. Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó cos(AB, DM) bằng:
A. $frac{sqrt{3}}{6}$
B. $frac{sqrt{2}}{2}$
C. $frac{sqrt{3}}{2}$
D. $frac{1}{2}$
Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN, SC) bằng:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 6. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa (IE, JF) bằng:
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng AB, DH bằng bao nhiêu?
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
Câu 8. Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Hãy xác định góc giữa hai đường thẳng AB và OO’?
A. 30°
B. 45°
C. 90°
D. 120°
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB, DM) bằng bao nhiêu nếu biết thêm thông tin gì? (Câu hỏi này cần thêm giả thiết để có thể giải được)
A. $frac{sqrt{2}}{2}$
B. $frac{sqrt{3}}{6}$
C. $frac{1}{2}$
D. $frac{sqrt{3}}{2}$
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SC và BC. Số đo của góc (IJ, CD) bằng:
A. 90°
B. 45°
C. 30°
D. 60°
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách xác định góc giữa hai đường thẳng và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
