Phương trình tổng quát của đường thẳng là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 10, đặc biệt là phần hình học tọa độ phẳng. Nắm vững cách viết phương trình này giúp học sinh dễ dàng giải quyết nhiều bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa các đường thẳng, tính khoảng cách, và các bài toán ứng dụng khác. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phương pháp viết phương trình tổng quát của đường thẳng, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn có thể tự tin chinh phục mọi bài tập.
Phương Pháp Viết Phương Trình Tổng Quát
Để viết phương trình tổng quát của một đường thẳng, ta cần xác định hai yếu tố sau:
- Một điểm thuộc đường thẳng: Giả sử điểm đó là $A(x_0; y_0)$.
- Một vectơ pháp tuyến: Vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(a; b)$ là vectơ vuông góc với đường thẳng.
Khi đã có hai yếu tố trên, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
$$a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0$$
Một lưu ý quan trọng là, nếu đường thẳng $d$ có phương trình $ax + by + c = 0$ và đường thẳng $Delta$ song song với $d$, thì đường thẳng $Delta$ sẽ có dạng $ax + by + c’ = 0$ (với $c’ neq c$).
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về phương pháp trên, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A(1; -2)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (1; -2)$.
Lời giải:
Áp dụng công thức, ta có phương trình đường thẳng là:
$1(x – 1) – 2(y + 2) = 0$
$Leftrightarrow x – 2y – 5 = 0$
Vậy đáp án đúng là C. x – 2y – 5 = 0.
Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $M(1; -3)$ và nhận vectơ $overrightarrow{n}(1; 2)$ làm vectơ pháp tuyến.
Lời giải:
Áp dụng công thức, ta có phương trình đường thẳng $Delta$ là:
$1(x – 1) + 2(y + 3) = 0$
$Leftrightarrow x + 2y + 5 = 0$
Vậy đáp án đúng là A. $Delta$: x + 2y + 5 = 0.
Minh họa vectơ pháp tuyến của đường thẳng Delta.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng $(d): x – 2y + 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $(Delta)$ đi qua $M(1; -1)$ và song song với $(d)$.
Lời giải:
Vì $(Delta)$ song song với $(d)$ nên $(Delta)$ có dạng $x – 2y + c = 0$ (với $c neq 1$).
Do $M(1; -1) in (Delta)$ nên $1 – 2(-1) + c = 0 Leftrightarrow c = -3$.
Vậy phương trình $(Delta)$ là: $x – 2y – 3 = 0$.
Đáp án đúng là A. x – 2y – 3 = 0.
Ví dụ 4: Cho ba điểm $A(1; -2)$, $B(5; -4)$ và $C(-1; 4)$. Viết phương trình đường cao $AA’$ của tam giác $ABC$.
Lời giải:
Ta có $overrightarrow{BC} = (-6; 8)$.
Đường cao $AA’$ nhận $overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua $A(1; -2)$.
Phương trình $AA’$ là: $-6(x – 1) + 8(y + 2) = 0 Leftrightarrow -6x + 8y + 22 = 0 Leftrightarrow 3x – 4y – 11 = 0$.
Vậy đáp án đúng là B. 3x – 4y – 11 = 0.
Ví dụ 5: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1; -3)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(1; 5)$ có phương trình tổng quát là:
Lời giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:
$1(x – 1) + 5(y + 3) = 0 Leftrightarrow x + 5y + 14 = 0$
Vậy đáp án đúng là C. x + 5y + 14 = 0.
Minh họa đường thẳng d và vectơ pháp tuyến của nó.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Lập phương trình đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
Lời giải:
Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$.
Đường thẳng $AH$ đi qua $A(2; -1)$ và nhận $overrightarrow{BC}( -7; -3)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường cao $AH$ là: $7(x – 2) + 3(y + 1) = 0 Leftrightarrow 7x + 3y – 11 = 0$.
Vậy đáp án đúng là A. 7x + 3y – 11 = 0.
Ví dụ 7: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $A(1; -2)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $M(-2; 1)$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
Lời giải:
Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao, suy ra $AM$ vuông góc $BC$.
Đường thẳng $BC$ nhận $overrightarrow{AM}(-3; 3) = -3(1; -1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng $BC$ đi qua $M(-2; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(1; -1)$.
Phương trình đường thẳng $BC$ là: $1(x + 2) – 1(y – 1) = 0 Leftrightarrow x – y + 3 = 0$.
Vậy đáp án đúng là C. x – y + 3 = 0.
Ví dụ 8: Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BH: x + y – 2 = 0$, đường cao $CK: 2x + 3y – 5 = 0$ và phương trình cạnh $BC: 2x – y + 2 = 0$. Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$?
Lời giải:
Gọi $P$ là giao điểm của ba đường cao (trực tâm). Tọa độ của $P$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$begin{cases}
x + y – 2 = 0
2x + 3y – 5 = 0
end{cases} Rightarrow P(1; 1)$$
Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$begin{cases}
x + y – 2 = 0
2x – y + 2 = 0
end{cases} Rightarrow B(0; 2)$$
Tương tự, tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$begin{cases}
2x + 3y – 5 = 0
2x – y + 2 = 0
end{cases} Rightarrow C(-frac{1}{8}; frac{9}{4})$$
Đường thẳng $AP$ nhận $overrightarrow{AP}( -3 ; -1)$ làm VTPT
Phương trình đường thẳng $AP$ là: $1(x – 1) + 2(y – 1) = 0 Leftrightarrow x + 2y – 3 = 0$.
Vậy đáp án đúng là C. x + 2y – 3 = 0.
Ví dụ 9: Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua $O$ và song song với đường thẳng $Delta: 3x + 5y – 9 = 0$ là:
Lời giải:
Vì $d$ song song với $Delta$ nên $d$ có dạng: $3x + 5y + c = 0$ (với $c neq -9$).
Do điểm $O(0; 0)$ thuộc đường thẳng $d$ nên: $3.0 + 5.0 + c = 0 Leftrightarrow c = 0$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $3x + 5y = 0$.
Đáp án đúng là B. 3x + 5y = 0.
Ví dụ 10: Cho tam giác $ABC$ có $B(-2; -4)$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Biết đường thẳng $IJ$ có phương trình $2x – 3y + 1 = 0$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
Lời giải:
Vì $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
Suy ra $IJ$ song song với $BC$.
Đường thẳng $BC$ có dạng: $2x – 3y + c = 0$ (với $c neq 1$).
Vì điểm $B$ thuộc $BC$ nên: $2(-2) – 3(-4) + c = 0 Leftrightarrow c = -8$.
Vậy phương trình đường thẳng $BC$ là: $2x – 3y – 8 = 0$.
Đáp án đúng là B. 2x – 3y – 8 = 0.
Minh họa đường trung bình IJ song song với BC trong tam giác ABC.
Ví dụ 11: Cho ba đường thẳng $(a): 3x – 2y + 5 = 0$, $(b): 2x + 4y – 7 = 0$ và $(c): 3x + 4y – 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua giao điểm của $a$ và $b$, và song song với $c$.
Lời giải:
Giao điểm của $(a)$ và $(b)$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$begin{cases}
3x – 2y + 5 = 0
2x + 4y – 7 = 0
end{cases} Rightarrow A(frac{-3}{8}; frac{31}{16})$$
Vì đường thẳng $d$ song song với $c$ nên $d$ có dạng: $3x + 4y + c = 0$ (với $c neq -1$).
Vì điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$ nên: $3(frac{-3}{8}) + 4(frac{31}{16}) + c = 0 Leftrightarrow c = frac{-53}{8}$.
Vậy $d: 3x + 4y + frac{-53}{8} = 0 Leftrightarrow 24x + 32y – 53 = 0$.
Đáp án đúng là A. 24x + 32y – 53 = 0.
Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, hãy thử sức với các bài tập sau:
Câu 1: Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2; 1)$ và nhận vectơ $overrightarrow{n}(-2; 1)$ làm VTPT.
Câu 2: Cho đường thẳng $(a): 2x + y – 3 = 0$ và $(b): 3x – 4y + 1 = 0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$; nhận vectơ $overrightarrow{n}(2; -3)$ làm VTPT.
Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Lập phương trình đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $B$.
Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Tìm trực tâm tam giác $ABC$?
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Phương trình tổng quát của đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ là:
Câu 6: Cho đường thẳng $(d): 3x – 2y + 8 = 0$. Đường thẳng $Delta$ đi qua $M(3; 1)$ và song song với $(d)$ có phương trình:
Câu 7: Cho tam giác $ABC$ có $B(2; -3)$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Biết đường thẳng $IJ$ có phương trình $x – y + 3 = 0$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
Câu 8: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $A(3; 2)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $M(-2; -4)$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(-1; 2)$ và song song với trục $Ox$.
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn sẽ nắm vững Cách Viết Phương Trình Tổng Quát của đường thẳng và tự tin giải quyết các bài tập liên quan. Chúc bạn học tốt!
