Trong hình học giải tích không gian Oxyz, việc xác định phương trình đường phân giác trong của một góc trong tam giác hoặc giữa hai đường thẳng cắt nhau là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp các công thức, phương pháp và ví dụ minh họa chi tiết để bạn nắm vững Cách Viết Phương Trình đường Phân Giác Trong Oxyz, giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Phương trình mặt phẳng phân giác của hai mặt phẳng giao nhau
Cho hai mặt phẳng $(alpha ): a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ và $(beta ): a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$. Phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi $(alpha)$ và $(beta)$ là:
$$frac{a_1x + b_1y + c_1z + d_1}{sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}} = pm frac{a_2x + b_2y + c_2z + d_2}{sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$$
Công thức này cho ta hai mặt phẳng phân giác, tương ứng với dấu “+” và dấu “-“.
2. Phương trình đường phân giác trong và ngoài của tam giác
Cho tam giác $ABC$. Đường phân giác trong góc $A$ có vectơ chỉ phương là:
$$overrightarrow{u} = frac{1}{AB}overrightarrow{AB} + frac{1}{AC}overrightarrow{AC}$$
Đường phân giác ngoài góc $A$ có vectơ chỉ phương là:
$$overrightarrow{u} = frac{1}{AB}overrightarrow{AB} – frac{1}{AC}overrightarrow{AC}$$
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2;1), B(-2;2;1), C(1;-2;2)$. Hỏi đường phân giác trong của góc $A$ của tam giác $ABC$ cắt mặt phẳng $(Oyz)$ tại điểm nào sau đây?
A. $left( 0;-frac{4}{3};frac{8}{3} right)$.
B. $left( 0;-frac{2}{3};frac{4}{3} right)$.
C. $left( 0;-frac{2}{3};frac{8}{3} right)$.
D. $left( 0;frac{2}{3};-frac{8}{3} right)$.
Giải:
Tính các vectơ $overrightarrow{AB}$ và $overrightarrow{AC}$:
$$overrightarrow{AB} = (-3; 4; 0)$$
$$overrightarrow{AC} = (0; 0; 1)$$
Tính độ dài các cạnh $AB$ và $AC$:
$$AB = sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = 5$$
$$AC = sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$$
Tìm vectơ chỉ phương của phân giác trong góc $A$:
$$overrightarrow{u} = frac{1}{AB}overrightarrow{AB} + frac{1}{AC}overrightarrow{AC} = frac{1}{5}(-3; 4; 0) + frac{1}{1}(0; 0; 1) = left(-frac{3}{5}; frac{4}{5}; 1right)$$
Viết phương trình tham số của đường phân giác trong $AM$:
$$begin{cases}
x = 1 – frac{3}{5}t
y = -2 + frac{4}{5}t
z = 1 + t
end{cases}$$
Tìm giao điểm $M$ của đường phân giác $AM$ với mặt phẳng $(Oyz)$:
Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình tham số của $AM$:
$$1 – frac{3}{5}t = 0 Rightarrow t = frac{5}{3}$$
Thay $t = frac{5}{3}$ vào phương trình tham số của $AM$ để tìm tọa độ điểm $M$:
$$begin{cases}
x = 0
y = -2 + frac{4}{5} cdot frac{5}{3} = -frac{2}{3}
z = 1 + frac{5}{3} = frac{8}{3}
end{cases}$$
Vậy $Mleft(0; -frac{2}{3}; frac{8}{3}right)$.
Chọn đáp án C.
3. Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng cắt nhau
Cho hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $A(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương lần lượt là $overrightarrow{u_1}(a_1; b_1; c_1)$ và $overrightarrow{u_2}(a_2; b_2; c_2)$. Vectơ chỉ phương của đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này được xác định theo công thức:
$$overrightarrow{u} = frac{1}{|overrightarrow{u_1}|}overrightarrow{u_1} pm frac{1}{|overrightarrow{u_2}|}overrightarrow{u_2} = frac{1}{sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}(a_1; b_1; c_1) pm frac{1}{sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}(a_2; b_2; c_2)$$
Lưu ý:
- Nếu $overrightarrow{u_1} cdot overrightarrow{u_2} > 0$, thì $overrightarrow{u} = frac{1}{|overrightarrow{u_1}|}overrightarrow{u_1} + frac{1}{|overrightarrow{u_2}|}overrightarrow{u_2}$ là vectơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn và $overrightarrow{u} = frac{1}{|overrightarrow{u_1}|}overrightarrow{u_1} – frac{1}{|overrightarrow{u_2}|}overrightarrow{u_2}$ là vectơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù.
- Nếu $overrightarrow{u_1} cdot overrightarrow{u_2} < 0$, thì $overrightarrow{u} = frac{1}{|overrightarrow{u_1}|}overrightarrow{u_1} + frac{1}{|overrightarrow{u_2}|}overrightarrow{u_2}$ là vectơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc tù và $overrightarrow{u} = frac{1}{|overrightarrow{u_1}|}overrightarrow{u_1} – frac{1}{|overrightarrow{u_2}|}overrightarrow{u_2}$ là vectơ chỉ phương của phân giác tạo bởi góc nhọn.
Ví dụ 2: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d: begin{cases} x = 1 + 3t y = 1 + 4t z = 1 end{cases}$. Gọi $Delta$ là đường thẳng đi qua điểm $A(1; 1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u}(-2; 1; 2)$. Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi $d$ và $Delta$ có phương trình là:
Lời giải:
Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_1}(3; 4; 0)$.
Đường thẳng $Delta$ có vectơ chỉ phương $overrightarrow{u_2}(-2; 1; 2)$.
Tính tích vô hướng: $overrightarrow{u_1} cdot overrightarrow{u_2} = 3(-2) + 4(1) + 0(2) = -2 < 0$. Do đó góc giữa $d$ và $Delta$ là góc tù. Phân giác của góc nhọn sẽ có vectơ chỉ phương là:
$$overrightarrow{u} = frac{1}{|overrightarrow{u_1}|}overrightarrow{u_1} – frac{1}{|overrightarrow{u_2}|}overrightarrow{u_2} = frac{1}{5}(3; 4; 0) – frac{1}{3}(-2; 1; 2) = left(frac{19}{15}; frac{7}{15}; -frac{2}{3}right) // (19; 7; -10)$$
Vậy phương trình đường phân giác của góc nhọn là:
$$frac{x – 1}{19} = frac{y – 1}{7} = frac{z – 1}{-10}$$
Kết luận:
Việc nắm vững các công thức và phương pháp trên sẽ giúp bạn dễ dàng viết phương trình đường phân giác trong Oxyz. Hãy luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau để thành thạo kỹ năng này. Chúc bạn thành công!
