A. Kiến Thức Cần Nhớ về Vector Chỉ Phương
Để làm tốt các bài tập liên quan đến vector chỉ phương (VTCP) của đường thẳng, bạn cần nắm vững những kiến thức sau:
- Định nghĩa: Vector $vec{u}$ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của vector $vec{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng d.
- Tính chất: Nếu $vec{u}(a; b)$ là VTCP của đường thẳng d thì vector $k.vec{u}$ (với $k ne 0$) cũng là VTCP của đường thẳng d.
- Mối liên hệ với Vector Pháp Tuyến (VTPT): Nếu đường thẳng d có VTPT $vec{n}(a; b)$ thì đường thẳng d nhận vector $vec{u}(b; -a)$ hoặc $vec{u’}(-b; a)$ làm VTCP.
B. Cách Tìm Vector Chỉ Phương Đi Qua Hai Điểm
Đây là trọng tâm của bài viết này. Để tìm VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A và B, ta thực hiện như sau:
- Xác định tọa độ của hai điểm: Giả sử A($x_A$; $y_A$) và B($x_B$; $y_B$).
- Tính vector $vec{AB}$: $vec{AB}$ = ($x_B$ – $x_A$; $y_B$ – $y_A$).
- Kết luận: Vector $vec{AB}$ chính là một VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Mọi vector cùng phương với $vec{AB}$ cũng là VTCP của đường thẳng đó.
C. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tìm một VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B(1; 4).
Giải:
- Ta có $vec{AB}$ = (1 – (-3); 4 – 2) = (4; 2).
- Vậy, vector $vec{u}$(4; 2) là một VTCP của đường thẳng AB. Ta cũng có thể chọn $vec{u’}$(2; 1) (vì $vec{u’}$ = 1/2 $vec{u}$) làm VTCP.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(a; 0) và B(0; b). Tìm một VTCP của đường thẳng AB.
Giải:
- Ta có $vec{AB}$ = (0 – a; b – 0) = (-a; b).
- Vậy, vector $vec{u}$(-a; b) là một VTCP của đường thẳng AB.
Minh họa vector chỉ phương của đường thẳng d, hướng dẫn cách xác định VTCP từ hình vẽ.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng d: 2x – 5y – 100 = 0. Tìm một VTCP của d.
Giải:
- Đường thẳng d có VTPT là $vec{n}$(2; -5).
- Suy ra, VTCP của d là $vec{u}$(5; 2).
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d đi qua A(1; 2) và B(2; m). Tìm m để đường thẳng d nhận $vec{u}$(1; 3) làm VTCP.
Giải:
- Ta có $vec{AB}$ = (2 – 1; m – 2) = (1; m – 2).
- Để $vec{u}$(1; 3) là VTCP của d, thì $vec{AB}$ và $vec{u}$ phải cùng phương. Tức là, tồn tại số k sao cho $vec{u}$ = k$vec{AB}$.
- Suy ra: (1; 3) = k(1; m – 2) => 1 = k và 3 = k(m – 2).
- Thay k = 1 vào, ta có 3 = m – 2 => m = 5.
Phương pháp giải bài toán tìm giá trị m để vector u trở thành vector chỉ phương của đường thẳng.
D. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Tìm VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm M(4; -1) và N(2; 3).
Câu 2: Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(2; 3), C(4; 0). Tìm VTCP của đường cao AH của tam giác.
Câu 3: Tìm VTCP của đường thẳng song song với trục Ox.
Câu 4: Tìm VTCP của đường thẳng vuông góc với đường thẳng d: x – 2y + 5 = 0.
E. Mẹo Giải Nhanh và Lưu Ý Quan Trọng
- Khi tìm VTCP từ VTPT: Đổi chỗ hai thành phần của VTPT và đổi dấu một trong hai thành phần đó.
- Kiểm tra tính cùng phương: Hai vector $vec{a}$(x1; y1) và $vec{b}$(x2; y2) cùng phương khi và chỉ khi $frac{x_1}{x_2} = frac{y_1}{y_2}$ (nếu $x_2$, $y_2$ khác 0).
- VTCP không duy nhất: Một đường thẳng có vô số VTCP. Bạn có thể nhân VTCP tìm được với bất kỳ số khác 0 nào để được một VTCP khác.
- Ứng dụng: Nắm vững cách tìm VTCP giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến viết phương trình đường thẳng, tìm giao điểm, tính khoảng cách, và nhiều dạng toán khác trong hình học phẳng.
Hướng dẫn cách thiết lập phương trình và giải để tìm giá trị tham số m khi biết vector chỉ phương.
