Trong hình học, vectơ là một đối tượng toán học có hướng và độ lớn, đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả các đại lượng vật lý như vận tốc, lực, và gia tốc. Vectơ AB, ký hiệu là $overrightarrow{AB}$, là vectơ nối điểm A đến điểm B. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về Cách Tính Vectơ Ab, độ dài của nó, và các ứng dụng liên quan, giúp bạn nắm vững kiến thức và giải quyết các bài toán một cách hiệu quả.
1. Định Nghĩa và Các Thành Phần của Vectơ AB
Vectơ AB là một đoạn thẳng có hướng, bắt đầu từ điểm A (gốc) và kết thúc tại điểm B (ngọn).
- Điểm đầu: Điểm A.
- Điểm cuối: Điểm B.
- Hướng: Hướng từ A đến B.
- Độ dài (hay môđun): Khoảng cách giữa A và B, ký hiệu là $|overrightarrow{AB}|$ hoặc AB.
2. Cách Tính Tọa Độ Vectơ AB
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). Tọa độ của vectơ AB được tính như sau:
$overrightarrow{AB} = (xB – xA; yB – yA)$
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB). Tọa độ của vectơ AB được tính như sau:
$overrightarrow{AB} = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)$
Hình ảnh minh họa cách xác định tọa độ vectơ AB khi biết tọa độ điểm A và điểm B trong mặt phẳng Oxy.
3. Cách Tính Độ Dài Vectơ AB
Độ dài của vectơ AB, ký hiệu là $|overrightarrow{AB}|$, là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
3.1. Trong Mặt Phẳng Tọa Độ Oxy
Cho $overrightarrow{AB} = (x; y)$, độ dài của vectơ AB được tính theo công thức:
$|overrightarrow{AB}| = sqrt{x^2 + y^2} = sqrt{(xB – xA)^2 + (yB – yA)^2}$
3.2. Trong Không Gian Tọa Độ Oxyz
Cho $overrightarrow{AB} = (x; y; z)$, độ dài của vectơ AB được tính theo công thức:
$|overrightarrow{AB}| = sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = sqrt{(xB – xA)^2 + (yB – yA)^2 + (zB – zA)^2}$
Hình ảnh minh họa công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và N trong hệ tọa độ, áp dụng để tính độ dài vectơ.
4. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6) trong mặt phẳng Oxy. Tính tọa độ và độ dài của vectơ AB.
- Giải:
- Tọa độ vectơ AB: $overrightarrow{AB} = (4 – 1; 6 – 2) = (3; 4)$
- Độ dài vectơ AB: $|overrightarrow{AB}| = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5$
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; -1; 3) và B(5; 1; 0) trong không gian Oxyz. Tính tọa độ và độ dài của vectơ AB.
- Giải:
- Tọa độ vectơ AB: $overrightarrow{AB} = (5 – 2; 1 – (-1); 0 – 3) = (3; 2; -3)$
- Độ dài vectơ AB: $|overrightarrow{AB}| = sqrt{3^2 + 2^2 + (-3)^2} = sqrt{9 + 4 + 9} = sqrt{22}$
5. Ứng Dụng của Vectơ AB
- Tính khoảng cách giữa hai điểm: Độ dài của vectơ AB chính là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
- Xác định phương và hướng: Vectơ AB cho biết phương và hướng của đoạn thẳng nối hai điểm A và B.
- Phân tích lực và vận tốc: Trong vật lý, vectơ AB có thể biểu diễn lực hoặc vận tốc tác động lên một vật thể.
- Xây dựng các hình học: Vectơ AB được sử dụng để xác định các yếu tố hình học như trung điểm, trọng tâm, và tính chất của các hình.
6. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Cho A(-2; 3) và B(1; -1). Tìm tọa độ và tính độ dài vectơ $overrightarrow{AB}$.
Bài 2: Cho A(0; 0; 1) và B(2; -3; 5). Tìm tọa độ và tính độ dài vectơ $overrightarrow{AB}$.
Bài 3: Cho tam giác ABC với A(1; 1), B(3; 2), và C(0; 5). Tính độ dài các cạnh AB, BC, và CA.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD với A(1; 0), B(2; 2), và C(4; 2). Tìm tọa độ điểm D.
Hình ảnh bài tập ví dụ về tính khoảng cách giữa hai điểm trong hệ tọa độ Oxy.
7. Kết Luận
Nắm vững cách tính vectơ AB là một kỹ năng quan trọng trong hình học và toán học ứng dụng. Bằng cách hiểu rõ định nghĩa, công thức tính tọa độ và độ dài, bạn có thể giải quyết nhiều bài toán liên quan đến khoảng cách, phương hướng, và các ứng dụng thực tế khác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một hướng dẫn chi tiết và dễ hiểu về chủ đề này. Chúc bạn học tốt!
