Cách Tính Tọa Độ Đỉnh Parabol: Lý Thuyết, Công Thức và Bài Tập

Để giải quyết các bài toán liên quan đến parabol trong chương trình Toán học, việc nắm vững Cách Tính Tọa độ đỉnh là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về lý thuyết, công thức và các ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn dễ dàng chinh phục dạng toán này.

I. Tổng Quan Về Parabol

Parabol là một đường cong bậc hai, có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Trong toán học, parabol thường được biểu diễn bằng một phương trình bậc hai.

Định nghĩa: Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn).
Phương trình tổng quát: Parabol có dạng y = ax² + bx + c, trong đó a, b, và c là các hằng số, và a ≠ 0.

Alt: Đồ thị minh họa parabol với đỉnh I, trục đối xứng, tiêu điểm và đường chuẩn, biểu diễn trực quan các yếu tố hình học quan trọng.

II. Công Thức Tính Tọa Độ Đỉnh Parabol

Đỉnh của parabol là điểm có giá trị y lớn nhất (nếu a < 0) hoặc nhỏ nhất (nếu a > 0). Cách tính tọa độ đỉnh parabol I(xI; yI) được xác định bởi công thức sau:

xI = -b / 2a
yI = -Δ / 4a

Trong đó, Δ (delta) là biệt thức của phương trình bậc hai, được tính bằng công thức: Δ = b² - 4ac.

Alt: Công thức toán học thể hiện cách tính hoành độ và tung độ đỉnh I của parabol y = ax^2 + bx + c, sử dụng các hệ số a, b, c và delta.

III. Xác Định Giao Điểm Của Parabol Với Các Trục Tọa Độ

Ngoài việc tìm tọa độ đỉnh, việc xác định giao điểm của parabol với các trục tọa độ cũng rất quan trọng.

Giao điểm với trục tung (x = 0): Để tìm giao điểm với trục tung, ta thay x = 0 vào phương trình parabol y = ax² + bx + c. Khi đó, ta được y = c. Vậy giao điểm với trục tung là A(0; c).
Giao điểm với trục hoành (y = 0): Để tìm giao điểm với trục hoành, ta giải phương trình ax² + bx + c = 0. Số nghiệm của phương trình này sẽ cho biết số giao điểm của parabol với trục hoành:
- Nếu phương trình vô nghiệm (Δ < 0): Parabol không cắt trục hoành.
- Nếu phương trình có nghiệm kép (Δ = 0): Parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(x1; 0), với x1 = -b / 2a.
- Nếu phương trình có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0): Parabol cắt trục hoành tại hai điểm B1(x1; 0) và B2(x2; 0), với x1 và x2 là nghiệm của phương trình.

Alt: Hình ảnh minh họa parabol tiếp xúc với trục hoành, biểu diễn trường hợp phương trình bậc hai có nghiệm kép.

Alt: Hình ảnh đồ thị parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, minh họa trường hợp phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt.

IV. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Cho parabol y = x² - 4x + 3. Hãy tìm tọa độ đỉnh và giao điểm của parabol với các trục tọa độ.

Giải:
- Xác định các hệ số: a = 1, b = -4, c = 3.
- Tính tọa độ đỉnh:
  - xI = -b / 2a = -(-4) / (2 * 1) = 2
  - Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 4
  - yI = -Δ / 4a = -4 / (4 * 1) = -1
  - Vậy tọa độ đỉnh là I(2; -1).
- Tìm giao điểm với trục tung: Thay x = 0 vào phương trình, ta được y = 3. Vậy giao điểm với trục tung là A(0; 3).
- Tìm giao điểm với trục hoành: Giải phương trình x² - 4x + 3 = 0. Ta có hai nghiệm x1 = 1 và x2 = 3. Vậy parabol cắt trục hoành tại hai điểm B1(1; 0) và B2(3; 0).

Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = -2x² + 8x - 5.

Giải:
- Xác định các hệ số: a = -2, b = 8, c = -5.
- Tính tọa độ đỉnh:
  - xI = -b / 2a = -8 / (2 * -2) = 2
  - Δ = b² - 4ac = 8² - 4 * -2 * -5 = 24
  - yI = -Δ / 4a = -24 / (4 * -2) = 3
  - Vậy tọa độ đỉnh là I(2; 3).

Alt: Các bước tính toán hoành độ và tung độ đỉnh của parabol y = x^2 – 3x + 2, sử dụng công thức và thay số cụ thể.

V. Bài Tập Tự Luyện

Cho parabol y = 3x² + 6x - 2. Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm với trục tung.
Tìm tọa độ đỉnh và giao điểm với các trục tọa độ của parabol y = -x² + 2x + 3.
Parabol y = 2x² - 4x + m có đỉnh nằm trên trục hoành. Tìm giá trị của m.

Bằng cách nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan đến cách tính tọa độ đỉnh của parabol. Chúc bạn thành công!