Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về cách tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến một đường thẳng trong mặt phẳng Oxy, bao gồm lý thuyết, công thức, ví dụ minh họa và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.
1. Công Thức Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Đường Thẳng
Công thức tổng quát để tính khoảng cách từ một điểm M(x₀; y₀) đến đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0 như sau:
d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
alt: Công thức toán học biểu diễn cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong hệ tọa độ Oxy, với các biến số được chú thích rõ ràng.
Trường hợp đặc biệt: Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng d: ax + by + c = 0 là:
d(O, d) = |c| / √(a² + b²)
2. Các Bước Tính Khoảng Cách Từ Gốc Tọa Độ Đến Đường Thẳng
Để tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến một đường thẳng, ta thực hiện các bước sau:
-
Xác định phương trình đường thẳng: Đảm bảo phương trình đường thẳng đã được đưa về dạng tổng quát ax + by + c = 0. Nếu phương trình đang ở dạng khác (ví dụ: y = mx + b), hãy biến đổi về dạng tổng quát.
-
Xác định các hệ số a, b, c: Từ phương trình tổng quát, xác định chính xác các hệ số a, b và c.
-
Áp dụng công thức: Sử dụng công thức d(O, d) = |c| / √(a² + b²) để tính khoảng cách. Thay các giá trị a, b, c đã xác định vào công thức.
-
Tính toán và đơn giản hóa: Thực hiện các phép tính để tìm ra giá trị khoảng cách. Đơn giản hóa kết quả nếu có thể.
3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng 3x – 4y – 21 = 0.
Áp dụng công thức: d(O, d) = |-21| / √(3² + (-4)²) = 21 / √25 = 21 / 5 = 4.2
Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng 8x + 6y – 48 = 0.
alt: Hình ảnh minh họa phương trình đường thẳng với các hệ số a, b, c cụ thể, giúp người đọc dễ hình dung và áp dụng vào bài toán tính khoảng cách.
Áp dụng công thức: d(O, d) = |-48| / √(8² + 6²) = 48 / √100 = 48 / 10 = 4.8
Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d): 4(x – 1) – 3(y – 2) = 0.
Đầu tiên, đưa phương trình về dạng tổng quát: 4x – 3y + 2 = 0
Áp dụng công thức: d(O, d) = |2| / √(4² + (-3)²) = 2 / √25 = 2 / 5 = 0.4
4. Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng 5x – 3y – 2 = 0.
Bài 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng 2x – y + 5 = 0.
Bài 3: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng x/3 + y/2 = 5.
Bài 4: Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 8x + 6y + 100 = 0. Tìm bán kính R của đường tròn (C).
alt: Hình ảnh minh họa đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, tiếp xúc với một đường thẳng. Bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.
Lời giải:
Bán kính R của đường tròn chính là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d:
R = d(O; d) = |100| / √(8² + 6²) = 100 / 10 = 10
5. Ứng Dụng Thực Tế
Việc tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm:
- Trong hình học: Giải các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng, tính diện tích tam giác, hình bình hành,…
- Trong kỹ thuật: Xác định khoảng cách an toàn, tối ưu hóa vị trí đặt các thiết bị.
- Trong đồ họa máy tính: Tính toán khoảng cách để xác định các đối tượng có va chạm hay không.
6. Mở Rộng
Ngoài công thức tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng, bạn cũng nên tìm hiểu thêm về:
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
- Ứng dụng của khoảng cách trong các bài toán tìm điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về Cách Tính Khoảng Cách Từ Gốc Tọa độ đến đường Thẳng. Chúc bạn học tốt!