Để giải quyết bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian, ta cần nắm vững các phương pháp dựng hình và tính toán. Bài viết này sẽ cung cấp các phương pháp hiệu quả, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn đọc có thể áp dụng một cách dễ dàng.
1. Các Phương Pháp Xác Định Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được định nghĩa là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. Việc tìm đoạn vuông góc chung này là chìa khóa để giải bài toán. Dưới đây là một số phương pháp thường dùng:
-
Phương pháp 1: Sử dụng mặt phẳng song song
Chọn một mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng (ví dụ, đường thẳng ∆) và song song với đường thẳng còn lại (∆’). Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d(∆, ∆’) bằng khoảng cách từ đường thẳng ∆’ đến mặt phẳng (α): d(∆’, (α)).
-
Phương pháp 2: Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng
Dựng hai mặt phẳng song song, mỗi mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song này chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
-
Phương pháp 3: Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung
Đây là phương pháp trực tiếp nhất. Ta xét hai trường hợp chính:
-
Trường hợp 1: Hai đường thẳng vừa chéo nhau, vừa vuông góc với nhau.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng (∆’) và vuông góc với đường thẳng còn lại (∆) tại điểm I.
- Bước 2: Trong mặt phẳng (α), kẻ IJ vuông góc với ∆’.
Khi đó, IJ là đoạn vuông góc chung và d(∆, ∆’) = IJ.
-
Trường hợp 2: Hai đường thẳng chéo nhau và không vuông góc với nhau.
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) chứa một đường thẳng (∆’) và song song với đường thẳng còn lại (∆).
- Bước 2: Dựng hình chiếu vuông góc d của ∆ xuống (α). Để làm điều này, lấy một điểm M thuộc ∆, dựng đoạn MN vuông góc với (α), khi đó d là đường thẳng đi qua N và song song với ∆.
- Bước 3: Gọi H là giao điểm của d và ∆’, dựng HK song song với MN.
Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung và d(∆, ∆’) = HK = MN.
Hoặc
- Bước 1: Chọn mặt phẳng (α) vuông góc với ∆ tại I.
- Bước 2: Tìm hình chiếu d của ∆’ xuống mặt phẳng (α).
- Bước 3: Trong mặt phẳng (α), dựng IJ vuông góc với d, từ J dựng đường thẳng song song với ∆ cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM song song với IJ.
Khi đó HM là đoạn vuông góc chung và d(∆, ∆’) = HM = IJ.
-
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a√2, cạnh SA = a√2 và vuông góc với mặt đáy.
a) Tính khoảng cách giữa BC và SD.
b) Tính khoảng cách giữa SC và AD.
Hướng dẫn giải:
a) Vì SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ CD.
Do ABCD là hình vuông nên CD ⊥ AD.
Ta có: CD ⊥ SD tại D, CD ⊥ BC tại C.
⇒ CD là đoạn vuông góc chung của SD và BC.
⇒ d(SD, BC) = CD = 2a.
b) Vì AD // BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ AD // (SBC).
Do đó d(AD, SC) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).
Kẻ AH ⊥ SB tại H.
Có SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH.
Lại có AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC).
Do đó d(A, (SBC)) = AH.
Xét ∆SAB vuông tại A, có 1/AH² = 1/SA² + 1/AB² = 1/(2a²) + 1/(2a²) = 1/a² ⇒ AH = a.
Vậy d(SC, AD) = a.
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a, góc DAB = 120°.
a) Tính khoảng cách giữa BD và CC’.
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD’.
Hướng dẫn giải:
a) Gọi O là tâm của hình thoi ABCD.
Vì ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC, BD và AC ⊥ BD.
Xét ∆ABD có BD² = AB² + AD² – 2AB.AD.cos120° = 3a²
⇒ BD = a√3 ⇒ BO = (a√3)/2
Xét ∆AOB vuông tại O, có AO = √(AB² – BO²) = √(a² – 3a²/4) = a/2 ⇒ AC = a.
Vì CC’ ⊥ (ABCD) ⇒ CC’ ⊥ CO mà CO ⊥ BD nên CO là đoạn vuông góc chung của BD và CC’.
Do đó d(BD, CC’) = CO = AO = a/2 .
b) Trong (BDD’B’) kẻ OE ⊥ BD’ tại E (1).
Vì AC ⊥ BD và AC ⊥ DD’ (DD’ ⊥ (ABCD)) ⇒ AC ⊥ (BDD’B’) ⇒ AC ⊥ OE (2).
Từ (1) và (2), suy ra OE là đoạn vuông góc chung của AC và BD’.
Do đó d(AC, BD’) = OE.
Mà OE = d(O, BD’) = 1/2 d(D, BD’).
Gọi h là khoảng cách từ D đến BD’.
Xét ∆D’DB vuông tại D, có 1/h² = 1/DD’² + 1/DB² = 1/a² + 1/(3a²) = 4/(3a²) ⇒ h = (a√3)/2 .
Vậy d(AC, BD’) = (a√3)/4 .
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy ABCD. Gọi K, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và O lên SD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK;
B. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD;
C. Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH;
D. Các khẳng định trên đều sai.
Bài 2. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa AB và CD.
A. a√3/2 ;
B. a√2/3;
C. a√2/2;
D. a√3/3.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AC = a√5 và BC = a√2. Tính khoảng cách giữa SD và BC.
A. 3a/4 ;
B. 2a/3;
C. a√3/2;
D. a√3.
Bài 4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa BB’ và AC bằng:
A. a/2 ;
B. a√3;
C. a√2/2;
D. a√3/3.
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Khoảng cách giữa AA’ và BD’ bằng:
A. √3/3 ;
B. √2/2 ;
C. 2√5/5;
D. 3√5/7.
Bài 6. Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là:
A. AA’;
B. BD;
C. DA’;
D. DD’.
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
A. a;
B. a/2 ;
C. a√3 ;
D. 2a.
Bài 8. Cho tứ diện OABC trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = OC = a. Gọi I là trung điểm BC. Khoảng cách giữa AI và OC bằng bao nhiêu?
A. a;
B. a√5 ;
C. a√3/2 ;
D. a/2 .
Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Tính khoảng cách giữa SB và CD.
A. a√2/4 ;
B. a/2 ;
C. a√3/3 ;
D. a√2/2 .
Bài 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD.
A. ah/√(3a²+h²) ;
B. ah/√(a²+h²) ;
C. ah/√(2a²+h²) ;
D. ah/√(a²+2h²) .
Hy vọng với những phương pháp, ví dụ và bài tập này, bạn đọc sẽ nắm vững Cách Tính Khoảng Cách Giữa Hai đường Thẳng Chéo Nhau và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
