Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa giúp học sinh nắm vững Cách Tính Hệ Số Góc Của Tiếp Tuyến và áp dụng vào giải các bài tập liên quan một cách hiệu quả.
A. Phương Pháp Xác Định Hệ Số Góc và Viết Phương Trình Tiếp Tuyến
Để viết phương trình tiếp tuyến của một đồ thị hàm số khi biết hệ số góc, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Gọi phương trình tiếp tuyến: Giả sử (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. Phương trình của (Δ) có dạng y = kx + b.
- Tìm tọa độ tiếp điểm: Giả sử M(x₀ ; y₀) là tiếp điểm của tiếp tuyến (Δ) và đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó, x₀ thỏa mãn phương trình: f ‘(x₀) = k (*), trong đó f ‘(x) là đạo hàm của hàm số f(x).
- Giải phương trình: Giải phương trình (*) để tìm x₀. Sau đó, tính y₀ = f(x₀).
- Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k(x – x₀) + y₀
Lưu ý quan trọng:
-
Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình f'(x) = k. Điều này có nghĩa là mỗi nghiệm của phương trình đạo hàm bằng hệ số góc sẽ cho ta một tiếp tuyến.
-
Cho hai đường thẳng d₁: y = k₁x + b₁ và d₂: y = k₂x + b₂.
- d₁ song song với d₂ khi và chỉ khi k₁ = k₂ và b₁ ≠ b₂.
- d₁ vuông góc với d₂ khi và chỉ khi k₁ k₂ = -1*.
Hình ảnh minh họa mối liên hệ giữa hệ số góc của đường thẳng và góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox.
Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan(∠OAB) = ± OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’(x) = tan(∠OAB). Điều này cho phép ta liên hệ hệ số góc với góc tạo bởi tiếp tuyến và trục hoành.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (1/3)x³ + 3x² + 5x – 1 có hệ số góc k = -9?
Hướng dẫn:
-
Tập xác định: D = R (tập hợp số thực)
-
Đạo hàm: y’ = x² + 6x + 5
-
Giải phương trình:
- k = -9 ⇔ y’(x₀) = -9
- ⇔ x₀² + 6x₀ + 5 = -9
- ⇔ x₀² + 6x₀ + 14 = 0
- Phương trình vô nghiệm, vậy không có tiếp tuyến nào có hệ số góc bằng -9.
Bài 2:
-
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = – x⁴ – x² + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x – 1.
-
Cho hàm số y = (1/3)x³ – x + 2/3 có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = (-1/3)x + 2/3.
Hướng dẫn:
1.
-
Hàm số đã cho xác định trên D = R
-
Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x – 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6.
-
Cách 1: Gọi M(x₀ ; y₀) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C). Khi đó, ta có phương trình:
- y’(x₀) = -6 ⇔ -4x₀³ – 2x₀ = -6 ⇔ (x₀-1)(2x₀²+2x₀+3) = 0 (*).
- Vì 2x₀² + 2x₀ + 3 > 0 ∀x₀ ∈ R nên phương trình (*) ⇔ x₀ = 1 ⇒ y₀ = 4 ⇒ M(1;4)
- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10
-
Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m
-
(t) tiếp xúc (C) tại điểm M(x₀ ; y₀) khi hệ phương trình sau có nghiệm x₀
-
có nghiệm x₀ ⇔
-
-
Phương trình bậc 4 cần giải để tìm nghiệm tiếp điểm khi biết hệ số góc và phương trình đường cong.
2.
-
Hàm số đã cho xác định D = R
-
Ta có: y’ = x² – 1
-
Gọi M(x₀ ; y₀) ∈(C) ⇔
-
Tiếp tuyến Δ tại điểm M có hệ số góc: y’(x₀) = x₀² – 1
-
Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)
Biểu thức toán học thể hiện điều kiện để tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đã cho.
- Vậy có 2 điểm M(-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm.
Bài 3: Cho hàm số y = (2x + 1)/(x – 1). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.
Hướng dẫn:
-
TXĐ: D = R{1}
-
Ta có
-
Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2 nên ta có
-
Với M(0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1
-
Với M(2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 2) + 5 = -3x + 11
Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn:
- Tập xác định: D = R
- Đạo hàm: y’ = 3x² – 6x = 3(x-1)² – 3 ≥ -3
- Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3
Bài 5: Cho hàm số y = (4/x) có đồ thị (H). Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H).
Hướng dẫn:
-
Tập xác định: D = R{0}
-
Đạo hàm: y’ = -4/(x²)
-
Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = -x + 2 nên Δ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình:
-
Tại M(2; 2). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 2) + 2 = x
-
Tại N(-2; -2). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x + 2) – 2 = x
Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x³ + 3x² – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017?
Hướng dẫn:
-
Tập xác định: D = R
-
Đạo hàm: y’ = 3x² + 6x – 8
-
Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1
-
Tại M(1; -3). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 1) – 3 = x – 4
-
Tại N(-3; 25). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x + 3) + 25 = x + 28
Bài 7: Cho hàm số y = -x³ + 3x² – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
- Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 có dạng Δ: y = -9x + c
- Δ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình
có nghiệm
-
⇔
-
Vậy có hai giá trị c thỏa mãn, suy ra có hai tiếp tuyến thỏa mãn.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (x + 1)/(x – 1) tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :
A. 9
B. 1/9
C. -9
D. -1/9
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn A
- Tập xác định: D = R{1}
- Đạo hàm: y’ = -2/(x-1)²
- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại A(-1; 0)
- Hệ số góc của tiếp tuyến là y’ (-1) = -2/4 = -1/2
Bài 2: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2x – 1)/(x + 1) tại giao điểm với trục tung bằng:
A. -2
B. 2
C. 1
D. -1
Lời giải:
Đáp án: B
Chọn B
- Tập xác định: D = R{-1}
- Đạo hàm: y’ = 3/(x+1)²
- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có x₀ = 0 ⇒ y’(0) = 3
Bài 3: Cho hàm số y = x³ – 3x² có đồ thị (C) có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song đường thẳng y = 9x + 10
A. 1
B. 3
C. 2
D. 4
Lời giải:
Đáp án: C
Chọn C
-
Tập xác định: D = R
-
Đạo hàm: y’ = 3x² – 6x. k = 9 ⇒ 3x₀² – 6x₀ = 9
-
Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán
Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x⁴ + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = 0 có phương trình là:
A. y = 5x – 3
B. y = 3x – 5
C. y = 2x – 3
D. y = x + 4
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn A
-
Ta có : y’ = 4x³ + 1
-
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/5)x nên tiếp tuyến có hệ số góc là 5
-
Khi đó ta có :
-
4x³ + 1 = 5 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2
-
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(1 ; 2) có dạng
- y = 5(x – 1) + 2 = 5x – 3
-
Bài 5: Gọi (C) là đồ thị hàm số y = (x³ + 4)/(x – 1). Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4
A. (1 + √3; 5+3√3), (1-√3; 5-3√3)
B. (2; 12)
C. (0; 0)
D. (-2; 0)
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn A
-
Tập xác định: D = R{1}
-
Đạo hàm:
-
Giả sử a là hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán ⇒ y’(a) = -1
Bài 6: Biết tiếp tuyến (d) của hàm số y = x³ – 2x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là:
Lời giải:
Đáp án: C
Chọn C.
-
Tập xác định: D = R
-
y’ = 3x² – 2
-
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Δ: x = y
-
⇒(d) có hệ số góc là – 1
-
3x² – 2 = -1 ⇔ x = ± 1/√3
-
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là
-
và
-
Bài 7: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4.
A. k = 1
B. k = 0,5
C. k = √2/2
D. 2
Lời giải:
Đáp án: D
Chọn D
- Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4 là k = y’( π/4) = 2
Bài 8: Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tại điểm có hoành độ x₀ = π là:
A.-√3/12
B. √3/12
C. -1/12
D. 1/12
Lời giải:
Đáp án: C
Chọn C
Bài 9: Cho hàm số y = x³ – 6x² + 7x + 5 (C). Tìm trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2?
A. (-1; -9); (3; -1)
B. (1; 7); (3; -1)
C. (1; 7); (-3; -97)
D. (1; 7); (-1; -9)
Lời giải:
Đáp án: B
Chọn B
-
Gọi M(x₀ ; y₀) là tọa độ tiếp điểm. Ta có y’ = 3x² – 12x + 7
-
Hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2
- ⇒ y’(x₀) = -2 ⇔ 3x₀² – 12x₀ + 7 = -2 ⇔
Bài 10: Cho hàm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d: 3y – x + 6 = 0 là
A. y = -3x – 3; y = -3x – 11
B. y = -3x – 3; y = -3x + 11
C. y = -3x + 3; y = -3x – 11
D. y = -3x – 3; y = 3x – 11
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn A
-
d: 3y – x + 6 = 0 ⇔ y = (1/3)x – 2
-
Gọi M(x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm. Ta có
-
Tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là -3 nên y’(x₀) = -3
- Với x₀ = -3/2 ⇒ y₀ = 3/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 3/2) + 3/2 = -3x-3
- Với x₀ = -5/2 ⇒ y₀ = (-7)/2 ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = -3(x + 5/2)-7/2 = -3x-11
Bài 11: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x⁴ – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = – 1 vuông góc với đường thẳng d : y = 2x – y – 3 = 0
A. 3/4
B. 1/4
C. 7/16
D. 9/16
Lời giải:
Đáp án: D
Chọn D
- d : y = 2x – y – 3 = 0 ⇔ y = 2x – 3, hệ số góc của đường thẳng d là 2
- y’ = 4(2m – 1)x³
- Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (2m – 1)x⁴ – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = -1 là y’(-1) = -4(2m – 1)
- Ta có 2. -4(2m – 1) = -1 ⇔ m = 9/16
Bài 12: Cho hàm số có đồ thị cắt trục tung tại A(0 ; -1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = -3. Các giá trị của a, b là
A. a = 1, b = 1
B. a = 2, b = 1
C. a = 1, b = 2
D. a = 2, b = 2
Lời giải:
Đáp án: B
Chọn B
-
A(0; – 1) ∈(C) nên ta có: -1 = b/(-1) ⇔ b = 1
-
Ta có
-
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm A là:
- k = y’(0) = -a – b = -3 ⇔ a = 3 – b = 2.
Bài 13: Điểm M trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² – 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là
A. M(1; -3), k = -3
B. M(1; 3), k = -3
C. M(1; -3), k = 3
D. M(-1; -3), k = -3
Lời giải:
Đáp án: A
Chọn A.
-
Gọi M(x₀ ; y₀). Ta có y’ = 3x² – 6x
-
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M là :
- k = y’(x₀) = 3x₀² – 6x₀ = 3(x₀ – 1)² – 3 ≥ -3
- Vậy k bé nhất bằng -3 khi x₀ = 1, y₀ = -3
Bài 14: Cho hàm số y = x³ + 3x² – 6x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1
A. y = 18x + 8 và y = 18x -27
B. y = 18x + 8 và y = 18x – 2
C. y = 18x + 81 và y = 18x – 2
D. y = 18x + 81 và y = 18x – 27
Lời giải:
Đáp án: D
Chọn D.
-
Gọi M(x₀; y₀) là tiếp điểm
-
Ta có: y’ = 3x² + 6x – 6
-
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1 nên ta có:
- y'(x₀) = 18 ⇔ 3x₀² + 6x₀ – 6 = 18 ⇔
- Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y = 18x + 81 và y = 18x – 27
Bài 15: Cho hàm số y = x³ – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9
A. y = 9x – 1 hay y = 9x + 17
B. y = 9x – 1 hay y = 9x + 1
C. y = 9x – 13 hay y = 9x + 1
D. y = 9x – 15 hay y = 9x + 17
Lời giải:
Đáp án: D
Chọn D
-
Ta có: y’ = 3x² – 3. Gọi M(x₀ ; y₀) là tiếp điểm
-
Ta có: y’(x₀) = 9 ⇔ 3x₀² – 3 = 9 ⇔ x₀ = ±2
- x₀ = 2 ⇒ y₀ = 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x – 2) + 3 = 9x – 15
- x₀ = -2 ⇒ y₀ = -1. Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + 2) – 1 = 9x + 17
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số (C):y = x³ – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), ta biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.
Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = x³:
a) Tại điểm (-1; -1).
b) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.
Bài 3. Cho hàm số y = −13×2+x+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến biết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1.
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = –x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 6
A. y = 6x + 6.
B. y = –6x + 1.
C. y = –6x + 10.
D. y = 6x + 10.
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x2 – 2x + 3 biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 4.
Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn cái nhìn sâu sắc về cách tính hệ số góc của tiếp tuyến và cách áp dụng nó vào giải các bài toán liên quan. Chúc các bạn học tốt!
