Để giải quyết các bài toán hình học không gian liên quan đến vị trí tương đối, đặc biệt là góc giữa hai mặt phẳng, đòi hỏi người học nắm vững lý thuyết và phương pháp giải toán. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về Cách Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng trong không gian, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện đa dạng, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán.
A. Tổng Quan Về Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Góc giữa hai mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian. Hiểu rõ định nghĩa và phương pháp xác định góc giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tính toán khoảng cách, thể tích và các yếu tố hình học khác.
Các phương pháp thường dùng:
- Phương pháp 1: Tìm hai đường thẳng vuông góc. Tìm hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng. Góc giữa hai đường thẳng này chính là góc giữa hai mặt phẳng.
- Phương pháp 2: Sử dụng công thức hình chiếu. Dựa vào diện tích hình chiếu của một hình lên mặt phẳng khác.
- Phương pháp 3: Xác định trực tiếp góc giữa hai mặt phẳng. Dựng góc giữa hai mặt phẳng thông qua giao tuyến và đường vuông góc.
B. Các Bước Tính Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
Để tính góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β), ta thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Tìm giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (α) và (β). Xác định đường thẳng chung của hai mặt phẳng.
- Bước 2: Chọn một mặt phẳng (γ) vuông góc với giao tuyến Δ. Mặt phẳng này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định góc.
- Bước 3: Tìm các giao tuyến a và b của (γ) với (α) và (β) tương ứng. Các giao tuyến này sẽ tạo thành góc cần tìm.
Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là góc giữa hai đường thẳng a và b: ((α), (β)) = (a, b).
Hình ảnh minh họa các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng thông qua giao tuyến và mặt phẳng vuông góc.
C. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng lý thuyết vào giải bài tập, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là ∠CBD
B. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB
C. (BCD) ⊥ (AIB)
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Hướng dẫn giải:
Hình ảnh minh họa tứ diện ABCD và trung điểm I của CD, giúp hình dung quan hệ vuông góc giữa các mặt phẳng.
- Tam giác BCD cân tại B có I là trung điểm của CD => CD ⊥ BI (1)
- Tam giác CAD cân tại A có I là trung điểm của CD => CD ⊥ AI (2)
Từ (1) và (2) => CD ⊥ (ABI).
=> (BCD) ⊥ (ABI) và (ACD) ⊥ (ABI);
Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là ∠AIB.
Vậy A: sai.
Chọn A
Ví dụ 2: Cho tứ diện đều ABCD. Góc giữa (ABC) và (ABD) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Hình ảnh minh họa tứ diện đều ABCD và trung điểm I của AB, giúp xác định góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).
Hướng dẫn giải:
Đặt AB = a. Gọi I là trung điểm của AB.
Tam giác ABC đều cạnh a nên CI ⊥ AB và CI = a√3/2
Tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB và DI = a√3/2
Do đó, ((ABC), (ABD)) = (CI, DI) = ∠CID = α
Tam giác CID có:
Chọn A
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính của góc giữa một mặt bên và một mặt đáy.
Hình ảnh minh họa hình chóp tứ giác đều S.ABCD, giúp xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Gọi H là giao điểm của AC và BD.
- Do S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SH ⊥( ABCD)
Ta có: (SCD) ∩ (ABCD) = CD. Gọi M là trung điểm CD.
- Tam giác SCD cân tại S; tam giác CHD cân tại H (Tính chất đường chéo hình vuông)
SM ⊥ CD và HM ⊥ CD
=> ((SCD), (ABCD)) = (SM, HM) = ∠SMH = α
Từ giả thiết suy ra tam giác SCD là tam giác đều cạnh a có SM là đường trung tuyến ⇒ SM = a√3/2
D. Bài Tập Vận Dụng
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng(P), cạnh AC = a√2 , AC tạo với (P) một góc 60°. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. (ABC) tạo với (P) góc 45°
B. BC tạo với (P) góc 30°
C. BC tạo với (P) góc 45°
D. BC tạo với (P) góc 60°
Lời giải:
Hình ảnh minh họa tam giác ABC vuông tại A và hình chiếu của C lên mặt phẳng (P), giúp xác định góc giữa (ABC) và (P).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên mặt phẳng (P).
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là góc ∠AIB
B. (BCD) ⊥ (AIB)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) là góc ∠CBD
D. (ACD) ⊥ (AIB)
Lời giải:
Chọn C
Xét phương án C:
Ta có:
Nên đáp án C sai.
Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC , gọi I là trung điểm BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc nào sau đây?
A. Góc SBA. B. Góc SCA. C. Góc SCB. D. Góc SIA.
Lời giải:
Chọn A
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD), gọi O là tâm hình vuông ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS
B. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA
D. (SAC) ⊥ (SBD)
Lời giải:
Chọn C
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Biết SO ⊥ (ABCD), SO = a√3 và đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính bằng a. Gọi α là góc hợp bởi mặt bên (SCD) với đáy. Khi đó tanα = ?
Lời giải:
Chọn D
Gọi M là trung điểm của CD.
Do bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCD có bán kính a nên R = OA = a ⇒ AC = 2a ⇒ AB = AD = a√2
Câu 6: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2AB. Góc giữa (SAB) và (ABC) bằng α. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Lời giải:
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC
Gọi CO ∩ AB = H suy ra H là trung điểm AB (vì ΔABC đều)
Câu 7: Trong không gian cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trên hai mặt phẳng vuông góc. Gọi H; K lần lượt là trung điểm của AB, CD. Ta có tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) bằng :
Lời giải:
Ta có:
Vì H là trung điểm của AB
=> SH ⊥ AB => SH ⊥ d (vì d // AB)
=> d ⊥ SK (theo định lý ba đường vuông góc)
Do đó: ∠KSH = α là góc giữa (SAB) và (SCD)
Mà SH là đường cao trong tam giác SAB đều cạnh a => SH = a√3/2
Xét tam giác SHK vuông tại H có:
Vậy chọn đáp án B
Câu 8: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 . Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A1D1CB) và (ABCD). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. α = 45° B. α = 30° C. α = 60° D. α = 90°
Lời giải:
Chọn đáp án A
Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA ⊥ (ABCD). Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là góc ∠ABS
B. (SAC) ⊥ (SBD)
C. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) là góc ∠SOA
D. Góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) là góc ∠SDA
Lời giải:
Chọn D
Câu 10: Cho tứ diện đều ABCD . Tính của góc giữa hai mặt (ABC) và (ACD) .
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AC khi đó BH ⊥ AC, DH ⊥ AC
Lại có: (ABC) ∩ (ACD) = AC
=> Góc giữa hai mặt (ABC) và (ACD)của tứ diện bằng ∠BHD
Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc ∠ABC = 60°. Các cạnh SA ; SB ; SC đều bằng a(√3/2) . Gọi φ là góc của hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) . Giá trị tanφ bằng bao nhiêu?
A. 2√5 B. 3√5 C. 5√3 D. Đáp án khác
Lời giải:
Do AB = BC và ∠ABC = 60° nên tam giác ABC đều
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD)
Do SA = SB = SC nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Chọn D
Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = 2a; AD = DC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√2. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. (SBC) ⊥ (SAC)
B. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) song song với AB
C. (SDC) tạo với (BCD) một góc 60°
D. (SBC) tạo với đáy một góc 45°
Lời giải:
Vậy chọn C
Câu 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a; AD = 2a. Gọi α là góc giữa đường chéo A’C và đáy ABCD. Tính α .
A. α ≈ 20°45′ B. α ≈ 24°5′ C. α ≈ 30°18′ D. α ≈ 25°48′
Lời giải:
Chọn B.
Từ giả thiết ta suy ra: AA’ ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt phẳng (ABCD)
=> (A’C, (ABCD)) = (A’C, AC) = ∠A’CA = α
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABC vuông tại B ta có:
AC2 = AB2 + BC2 = a2 + 4a2 = 5a2 ⇒ AC = a√5 .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AA’C vuông tại A ta có:
Câu 14: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√2 .
B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 1/√3
C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
D. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.
Lời giải:
ABCD.A’B’C’D’ là hình lặp phương nên hình chiếu của tam giác A’BD lên các mặt chứa các cạnh của hình lặp phương là các tam giác bằng nhau.
Gọi S1 là diện tích các tam giác này
Lại có S1 = SAD’B.cosα
=> Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.
Vậy chọn đáp án D
Câu 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Lời giải:
Chọn C
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a nên tính được : AN = a(√3)/2
Từ giả thiết suy ra H là trọng tậm tam giác ABC
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHA vuông tại H ta có:
Câu 16: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a√2 và chiều cao bằng a√2/2 . Tính số đo của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
Lời giải:
Chọn B
Giả sử hình chóp đã cho là S.ABCD có đường cao SH.
Ta có: (ABCD) ∩ (SCD) = CD
Gọi M là trung điểm của CD
- Ta có: SH ⊥ CD và HM ⊥ CDnên CD ⊥(SHM)
SM ⊥ CD .
((ABCD), (SCD)) = (HM, SM) = ∠SMH
Mặt khác: HM là đường trung bình của tam giác ACD nên HM = (1/2)AD = a√2/2
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SHM vuông tại H , ta có :
Chọn B
Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a√3 . Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
Lời giải:
Ta có SB = SD = 2a
⇒ ΔSCD = ΔSCB (c.c.c)
⇒ Chân đường cao hạ từ B và D đến SC của hai tam giác đó trùng nhau và độ dài đường cao bằng nhau; BH = DH
Lại có BH = DH và O là trung điểm BD nên HO ⊥ BD hay tam giác HOB vuông tại O
Chọn đáp án C
Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a. Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng bao nhiêu?
A. 30° B. 45° C. 90° D. 60°
Lời giải:
Ta có: SC ⊥ BD (vì BD ⊥ AC, BD ⊥ SA)
Trong mặt phẳng (SAC) , kẻ OI ⊥ SC thì ta có SC ⊥ (BID)
Khi đó ((SCB), (SCD)) = ∠BID
Trong tam giác SAC, kẻ đường cao AH thì AH = a(√2/√3)
Mà O là trung điểm AC và OI // AH nên OI = a/√6
Tam giác IOD vuông tại O có ∠OID = √3 ⇒ ∠OID = 60°
Vậy hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) hợp với nhau một góc 60°
Chọn D.
Câu 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.
A. x = 3a/2 B. x = a/2 C. x = a D. x = 2a
Lời giải:
* Trong (SAB) dựng AI ⊥ SB ta chứng minh được AI ⊥ (SBC) (1)
Trong (SAD) dựng AJ ⊥ SD ta chứng minh được AJ ⊥ (SCD) (2)
Từ (1) và (2) => góc ((SBC), (SCD)) = (AI, AJ) = ∠IAJ
* Ta chứng minh được AI = AJ. Do đó, nếu góc ∠IAJ = 60° thì ΔAIJ đều ⇒ AI = AJ = IJ
Tam giác SAB vuông tại A có AI là đường cao
Chọn C
Câu 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC . Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là :
A. ∠CSF B. ∠BSF C. ∠BSE D. ∠CSE
Lời giải:
Ta có: E và F lần lượt là trung điểm của AB và AC nên EF là đường trung bình của tam giác: EF // BC
Góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là : ∠BSE
Chọn C
Câu 21: . Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy D; E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho BD = a(√3/2), CE = a√3 . Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?
A. 30° B. 60° C. 90° D. 45°
Lời giải:
Suy ra tam giác ADE cân tại D.
Gọi H là trung điểm AE, ta có
Chọn B
E. Bài Tập Tự Luyện
Để nâng cao kỹ năng giải toán, bạn hãy tự luyện các bài tập sau:
Bài 1. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng (P). Trên các đường thẳng vuông góc với (P) tại B và C lần lượt lấy D; E nằm trên cùng một phía đối với (P) sao cho BD = a32, CE = a3. Góc giữa (P) và (ADE) bằng bao nhiêu?
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ⊥ (ABCD); SA = x. Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) tạo với nhau góc 60°.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA ⊥ (ABC). Gọi E; F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).
Bài 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SH bằng cạnh đáy. Tính số đo góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy.
Bài 5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xét mặt phẳng (A’BD). Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
A. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 12.
B. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng α mà tanα = 13.
C. Góc giữa mặt phẳng (A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương phụ thuộc vào kích thước của hình lập phương.
D. Góc giữa mặt phẳng ( A’BD) và các mặt phẳng chứa các cạnh của hình lập phương bằng nhau.
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. Cạnh AB = a nằm trong mặt phẳng(P), cạnh AC = a2, AC tạo với (P) một góc 60°. Tính góc tạo bởi BC và (P).
Bài 7. Cho tứ diện ABCD có AC = AD và BC = BD. Gọi I là trung điểm của CD. Xác điịnh góc giữa các mặt phẳng sau:
a) (ACD) và (BCD).
b) (BCD) và (AIB).
c) (ABC) và (ABD).
Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD), gọi O là tâm hình vuông ABCD. Xác định các góc tạo bởi:
a) (SBC) và (ABCD).
b) (SAD) và (ABCD).
c) (SAC) và (SBD).
Bài 9. Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (A1D1CB) và (ABCD). Tính α?
Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D. AB = 2a; AD = DC = a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a2.
a) Xác định giao tuyến giữa (SAB) và (SCD) và giao tuyến đó song song với đường thẳng nào?
b) Tính góc tạo bởi (SDC) và (BCD).
Với các kiến thức và bài tập được cung cấp trong bài viết này, hy vọng bạn sẽ nắm vững cách tính góc giữa hai mặt phẳng và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn thành công!