Để giải quyết các bài toán hình học liên quan đến tam giác, việc nắm vững công thức tính bán kính đường tròn nội tiếp là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và chi tiết về Cách Tính Bán Kính đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn có thể áp dụng một cách hiệu quả.
1. Công Thức Tính Bán Kính Đường Tròn Nội Tiếp Tam Giác
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, thường được ký hiệu là r, có thể được tính bằng nhiều cách khác nhau, tùy thuộc vào thông tin đã biết về tam giác đó. Dưới đây là công thức phổ biến nhất:
-
Công thức dựa trên diện tích và nửa chu vi:
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh lần lượt là a, b, c. Gọi S là diện tích của tam giác và p là nửa chu vi, ta có:
Trong đó, p được tính bằng công thức: p = (a + b + c) / 2
-
Công thức Heron:
Nếu bạn chỉ biết độ dài ba cạnh của tam giác, bạn có thể sử dụng công thức Heron để tính diện tích, sau đó áp dụng công thức trên. Công thức Heron như sau:
S = √[p(p – a)(p – b)(p – c)]
2. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, chúng ta hãy cùng xem xét một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 7 và BC = 11. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Hướng dẫn giải:
-
Tính nửa chu vi: p = (6 + 7 + 11) / 2 = 12
Alt text: Tam giác ABC có cạnh AB=6, AC=7, BC=11 và đường tròn nội tiếp.
-
Tính diện tích bằng công thức Heron:
S = √[12(12 – 6)(12 – 7)(12 – 11)] = √[12 6 5 * 1] = √360 = 6√10
-
Tính bán kính đường tròn nội tiếp:
r = S / p = (6√10) / 12 = √10 / 2
Vậy, bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là √10 / 2.
Ví dụ 2: Cho tam giác DEF có góc D = 120°, ED = 6, EF = 12. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Hướng dẫn giải:
-
Tính cạnh DF bằng định lý cosin:
DF² = ED² + EF² – 2 ED EF * cos(D)
DF² = 6² + 12² – 2 6 12 * cos(120°) = 36 + 144 + 72 = 252
DF = √252 = 6√7
-
Tính diện tích tam giác DEF:
S = (1/2) ED EF sin(D) = (1/2) 6 12 sin(120°) = 36 * (√3 / 2) = 18√3
Alt text: Tam giác DEF với ED=6, EF=12, góc D=120 độ và đường tròn nội tiếp.
-
Tính nửa chu vi:
p = (ED + EF + DF) / 2 = (6 + 12 + 6√7) / 2 = 9 + 3√7
-
Tính bán kính đường tròn nội tiếp:
r = S / p = (18√3) / (9 + 3√7) = (6√3) / (3 + √7) = (6√3 * (3 – √7)) / (9 – 7) = (18√3 – 6√21) / 2 = 9√3 – 3√21
3. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
- Cho tam giác ABC có AB = 8, AC = 9 và BC = 13. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6, AC = 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Tam giác đều ABC có cạnh là a, tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
- Cho tam giác ABC có góc A = 60°, AB = 3 và AC = 6. Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
4. Lưu Ý Quan Trọng
- Khi sử dụng công thức Heron, hãy đảm bảo rằng bạn đã tính toán chính xác nửa chu vi.
- Đối với các tam giác đặc biệt (vuông, đều, cân), có thể có các công thức tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp đơn giản hơn. Hãy tìm hiểu và áp dụng khi có thể.
- Luôn kiểm tra lại kết quả để đảm bảo tính chính xác.
Kết luận
Nắm vững các công thức và phương pháp tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là một kỹ năng quan trọng trong hình học. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Chúc bạn thành công!
