Vector chỉ phương (VTCP) là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi làm việc với phương trình đường thẳng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp tìm VTCP một cách dễ hiểu và chi tiết nhất, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng.
A. Khái Niệm Vector Chỉ Phương
Trong mặt phẳng tọa độ, một vector $vec{u}$ được gọi là vector chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vector $vec{u}$ song song hoặc trùng với đường thẳng d.
- Nếu $vec{u}(a; b)$ là VTCP của đường thẳng d, thì $kvec{u}$ (với $k ne 0$) cũng là VTCP của đường thẳng d.
- Nếu đường thẳng d có vector pháp tuyến (VTPT) $vec{n}(a; b)$, thì vector $vec{u}(b; -a)$ hoặc $vec{u’}(-b; a)$ là VTCP của đường thẳng d.
B. Các Phương Pháp Tìm Vector Chỉ Phương
Có nhiều cách để tìm vector chỉ phương của một đường thẳng, tùy thuộc vào thông tin bạn có:
-
Khi biết hai điểm thuộc đường thẳng:
Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A và B, thì vector $overrightarrow{AB}$ là một VTCP của d.
-
Khi biết phương trình tổng quát của đường thẳng:
Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát là $ax + by + c = 0$, thì vector $vec{n}(a; b)$ là VTPT của d. Suy ra, vector $vec{u}(-b; a)$ hoặc $vec{u}(b; -a)$ là VTCP của d.
-
Khi biết phương trình tham số của đường thẳng:
Nếu đường thẳng d có phương trình tham số là
$$begin{cases}
x = x_0 + at
y = y_0 + bt
end{cases}$$
thì vector $vec{u}(a; b)$ là VTCP của d. -
Khi biết vector pháp tuyến:
Nếu đường thẳng d có VTPT là $vec{n}(a; b)$, thì VTCP của d là $vec{u}(-b; a)$ hoặc $vec{u}(b; -a)$.
C. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: $3x – y + 5 = 0$. Tìm một VTCP của d.
Giải:
Đường thẳng d có VTPT là $vec{n}(3; -1)$. Suy ra, VTCP của d là $vec{u}(1; 3)$ hoặc $vec{u}(-1; -3)$.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tìm một VTCP của d.
Giải:
Ta có $overrightarrow{AB} = (4-1; 6-2) = (3; 4)$. Vậy, $vec{u}(3; 4)$ là một VTCP của d.
Ví dụ 3: Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d có phương trình tham số:
$$begin{cases}
x = 2 + t
y = -1 + 3t
end{cases}$$
Giải:
Từ phương trình tham số, ta thấy ngay VTCP của d là $vec{u}(1; 3)$.
Ví dụ 4: Cho đường thẳng d: $2x + 3y – 6 = 0$. Hãy tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng này.
Giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng là $2x + 3y – 6 = 0$. Từ đó, ta xác định được vector pháp tuyến là $vec{n} = (2; 3)$. Vector chỉ phương của đường thẳng sẽ vuông góc với vector pháp tuyến, do đó ta có thể chọn $vec{u} = (3; -2)$.
Ví dụ 5: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b).
Giải:
Vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) có thể được tìm bằng cách lấy vectơ $overrightarrow{AB}$. Tọa độ của vectơ $overrightarrow{AB}$ là (0-a; b-0) = (-a; b). Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là $vec{u} = (-a; b)$.
D. Bài Tập Vận Dụng
- Tìm VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -2) và B(3; 4).
- Tìm VTCP của đường thẳng có phương trình tổng quát: $x – 2y + 3 = 0$.
- Tìm VTCP của đường thẳng có phương trình tham số:
$$begin{cases}
x = -1 + 2t
y = 3 – t
end{cases}$$ - Cho đường thẳng d có VTPT $vec{n}(5; -2)$. Tìm một VTCP của d.
- Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(2; -1) và có VTCP $vec{u}(3; 2)$.
Lời Giải:
- $overrightarrow{AB} = (2; 6)$. Vậy, $vec{u}(1; 3)$ là một VTCP.
- VTPT là $vec{n}(1; -2)$. Vậy, VTCP là $vec{u}(2; 1)$.
- VTCP là $vec{u}(2; -1)$.
- VTCP là $vec{u}(2; 5)$.
- $$begin{cases}
x = 2 + 3t
y = -1 + 2t
end{cases}$$
E. Lưu Ý Quan Trọng
- Một đường thẳng có vô số VTCP. Các VTCP này cùng phương với nhau.
- Khi giải bài toán, bạn có thể chọn bất kỳ VTCP nào, miễn là nó thỏa mãn định nghĩa.
- Việc tìm đúng VTCP là bước quan trọng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đường thẳng, như viết phương trình đường thẳng, tìm giao điểm, tính khoảng cách,…
Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm vững cách tìm vector chỉ phương của đường thẳng và áp dụng thành công vào giải các bài tập. Chúc bạn học tốt!
