Để giải quyết các bài toán liên quan đến cấp số cộng, việc xác định số hạng đầu tiên (U1) là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp và ví dụ chi tiết để bạn nắm vững Cách Tìm U1, công sai (d), và số hạng thứ k của cấp số cộng.
A. Phương Pháp Giải
Cấp số cộng là một dãy số mà hiệu giữa hai số hạng liên tiếp là một hằng số, gọi là công sai (d).
-
(un) là cấp số cộng khi và chỉ khi un+1 − un = d (d là hằng số).
-
Số hạng thứ n của cấp số cộng: un = u1 + (n−1)d
-
Khi biết số hạng thứ n và thứ m, ta có thể thiết lập hệ phương trình để tìm u1 và d:
Giải hệ phương trình trên, ta sẽ tìm được giá trị của u1 (số hạng đầu) và d (công sai).
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho cấp số cộng có u5 = 11 và công sai d = 3. Tìm số hạng đầu u1.
A. u1 = -1 B. u1 = 2 C. u1 = 4 D. u1 = -2
Hướng dẫn giải:
Ta có: u5 = u1 + (5−1)d
=> 11 = u1 + 4*3
=> u1 = 11 – 12 = -1
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng có u7 = -8; công sai d = -3. Tìm u1?
A. u1 = 10 B. u1 = -3 C. u1 = 2 D. u1 = 10
Hướng dẫn giải:
Ta có: u7 = u1 +(7−1)d
=> −8 = u1 + 6*(-3)
=> u1 = -8 + 18 = 10
Chọn A.
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng (un) có công sai d = 1 và số hạng thứ 10 là 9,4. Tìm số hạng đầu u1.
A. u1 = 1,6 B. u1 = 1,4 C. u1 = 10,4 D. u1 = 0,4
Hướng dẫn giải:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: un = u1 + (n − 1) d
=> 9.4 = u1 + (10-1)*1
=> u1 = 9.4 – 9 = 0,4
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (un) có công sai d = 3 và các số hạng thỏa mãn un < 13. Biết u1 = -2, hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số thỏa mãn điều kiện trên?
A.3 B. 4 C.5 D.6
Hướng dẫn giải:
Cấp số cộng có u1 = −2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
un = u1 + (n − 1) . d = −2 + 3(n − 1) = 3n − 5
Để un < 13 thì 3n – 5 < 13 => 3n < 18 => n < 6
Mà n nguyên dương nên n ∈ { 1,2,3,4,5}
Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện
Chọn C.
Ví dụ 5: Viết ba số xen giữa số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d.
A. u1 = 2, d = 5 B. u1 = 7, d = 12 C. u1 = 12, d = 17 D. u1 = 17, d = 2
Hướng dẫn giải:
Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:
u1 = 2 và u5 = 22.
+ Lại có: u5 = u1 + (5 − 1) d nên 22 = 2 + 4d
⇔ 20 = 4d ⇔ d= 5
Chọn A.
Ví dụ 6: Cho dãy số (un) với un = 7 − 2n. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy u1 = 5; u2 = 3 và u3 = 1.
B. Số hạng thứ n + 1 là un+1 = 8 − 2n.
C. Là cấp số cộng có d = −2.
D. Số hạng thứ 4: u4 = −1.
Hướng dẫn giải:
* Ta có:
=> đáp án A, D đúng.
*Số hạng thứ n+1 là: un + 1 = 7 − 2(n+1) = 5 − 2n
=> B sai.
* Xét hiệu: un+1 − un = (5−2n) − (7 − 2n)= −2
=> (un) là cấp số cộng với công sai d = −2.
=> C đúng.
Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (un) có u3 = −15 và u14 = 18. Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = −21; d = 3 B. u1 = −20; d = 2
C. u1 = −21; d = −3 D. u1 = −20 ; d = −2
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
Chọn A.
Ví dụ 8: Cho cấp số cộng ( un) thỏa mãn: và d = 4. Tìm số hạng đầu tiên u1.
A. u1 = 39 B. u1 = 27 C. u1 = 36 D. u1 = 3
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:
=> Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là :
u1 = u10 – 9d = 39 – 9 * 4 = 3
Chọn D.
Ví dụ 9: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 1 và công sai d = 3. Hỏi 301 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
A.99 B.100 C.101 D.103
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:
Ta có : 301 = 1 + (n − 1) . 3 ⇔ 300 = 3(n-1)
⇔ n − 1 = 100 ⇔ n = 101
Vậy 301 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng.
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d.
A. u1 = 8, d = -2 B. u1 = -2, d = 2
C. u1 = 6, d = 0 D. u1 = 12, d = 4
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có :
Từ (1) suy ra : u1 = 8 − 5d thay vào (2) ta được :
Với d = 2 => u1 = -2
Chọn B.
Ví dụ 11: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn điều kiện:. Tìm số hạng đầu tiên u1 và công sai d.
A. u1 = -2, d = 3 B. u1 = 10, d = -3 C. C .d = ±3 D. d = ±4
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài ta có:
Từ (1) suy ra: u1 + 2d = 4 ⇔ u1 = 4 − 2d thế vào (2) ta được:
-
Với d = 3 => u1 = 4 − 6 = −2
-
Với d = −3 => u1 = 4 + 6 = 10
Chọn C.
C. Bài Tập Trắc Nghiệm
Câu 1: Cho cấp số cộng (un) có u4 = −20; u19 = 55 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = −35; d = 5 B. u1 = −35; d = −5
C. u1 = 35; d = 5 D. u1 = 35; d = −5
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
Câu 2: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn : . Tìm u1 và d.
A. u1= 3, d = 6 B. u1 = 1, d = 4 C . u1 = 3, d = 4 D. u1 = 2, d = 7
Lời giải:
Đáp án: C
Theo giả thiết ta có:
=> u1 = 3, d = 4
Câu 3: Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn : u1 + d = 7 và u1 + 19d = 87 . Tìm số hạng đầu u1.
A. u1 =67 B. u1 =75 C. u1 =87 D. u1 = -80
Lời giải:
Đáp án: D
Theo giả thiết ta có:
u1 = -80
Câu 4: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29. Tính số hạng đầu u1
A. 0 B. −2 C. −1 D. −3
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi ba số hạng của cấp số cộng là a − 2d; a ; a + 2d
Theo giả thiết ta có :
-
Nếu d = 1 thì ba số hạng cần tìm là : −4 ; −3 ; −2 và u1 = -4
-
Nếu d = -1 thì ba số hạng cần tìm là : −2 ; −3 ; −4 và u1 = -2
Câu 5: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn: . Tìm u1 ;d biết u1 > 0
A. u1 = 3; d= 1 B. u1 = 3; d = 2 C. u1 = 2; d = 3 D. u1 = 2; d = −3
Lời giải:
Đáp án: B
Theo giả thiết
Vậy u1 = 3 và d = 2.
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho cấp số cộng có u10 = 24 và công sai d = 3. Tìm số hạng đầu u1.
Bài 2. Cho cấp số cộng (un) với un = 2n + 5. Tìm u1
Bài 3. Tìm số hạng đầu u1 của cấp số cộng thỏa mãn: u1−u3+u5=10 và công sai d = 2.
Bài 4. Tìm số hạng đầu u1 của cấp số cộng sau, biết công sai d = 2 và u7−u3=8.
Bài 5. Tìm số hạng u1 và công sai d của cấp số cộng sau, biết: u7+u15=60 và u42+u122=1170
Bài 6. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un), biết: 5u1+10u5=0 và S4=14.
Bài 7. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un), biết: u5=18 và Sn=S2n.
Bài 8. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un), biết: Sn = 5n2 + 3n.
Bài 9. Tìm số hạng đầu u1 và công sai của cấp số cộng biết: S4 = 38, S7 = 119 trong đó Sn là tổng của n số hạng.
Bài 10. Cho biết số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng dưới đây:
a) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
b) 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2, 0.
Bài 11. Tìm công sai của các cấp số cộng sau:
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12.
b) -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9.
Bài 12. Cho cấp số cộng (un) có u6 = 27 và công sai d = 6. Tính u1
Bài 13. Cho cấp số cộng (un) có u10 = 24 và công sai d = 3. Tính u1
Bài 14. Cho cấp số cộng (un) với: u2−u3+u5=10 và u3+u4=17. Tìm u1 và d của cấp số cộng trên?
Bài 15. Cho cấp số cộng có các số hạng lần lượt là -4, 1, 6, x. Giá trị của x bằng bao nhiêu và tính công sai của cấp số cộng đã cho.
Bài 16. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) có u9 = 5u12 và u13 = 2u6 + 5.
Bài 17. Cho cấp số cộng (un) có số hạng thứ 4 (u4) là -20 và số hạng thứ 19 (u19) là 55. Tìm giá trị của u1 và d.
Bài 18. Cho (un) là cấp số cộng thỏa mãn: uk = 3n – 9. Tính số hạng đầu tiên và số hạng thứ 10 của cấp số cộng.
Bài 19. Xác định số hạng đầu của cấp số cộng có công sai d là 3, số hạng cuối là 12, và có tổng bằng 30.
Bài 20. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết: u7+u5=60 và u42+u122=1170
