Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số là một kỹ năng quan trọng trong toán học. TXĐ là tập hợp tất cả các giá trị của biến số mà tại đó hàm số có nghĩa (tức là, cho ra một giá trị thực). Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp tìm TXĐ một cách chi tiết, dễ hiểu, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
1. Phương Pháp Tìm Tập Xác Định
Để tìm tập xác định của hàm số y = f(x), ta cần xác định các giá trị của x sao cho biểu thức f(x) có nghĩa. Điều này thường liên quan đến việc xem xét các trường hợp sau:
- Mẫu số: Mẫu số phải khác 0. Nếu hàm số có dạng phân thức f(x) = g(x) / h(x), thì h(x) ≠ 0.
- Căn bậc chẵn: Biểu thức dưới căn bậc chẵn phải lớn hơn hoặc bằng 0. Nếu hàm số có dạng f(x) = √g(x), thì g(x) ≥ 0.
- Logarit: Biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0. Nếu hàm số có dạng f(x) = logₐ(g(x)), thì g(x) > 0 và a > 0, a ≠ 1.
- Hàm lượng giác: Cần xem xét điều kiện xác định của các hàm tan, cot, sec, csc.
Chú ý: Nếu hàm số chỉ là một đa thức, ví dụ P(x), thì tập xác định của nó là toàn bộ tập số thực (ℝ).
Alt text: Tập xác định của hàm số đa thức P(x) luôn là tập số thực R, thể hiện sự xác định của hàm số trên toàn bộ trục số.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = (x + 1) / (x² + 3x – 4)
b) y = √(2x + 6)
c) y = ³√(x³ + x² – 5x – 2)
d) y = 1 / ((x² – 1)² – 2x²)
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện xác định: x² + 3x – 4 ≠ 0 ⇔ (x – 1)(x + 4) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 và x ≠ -4.
Alt text: Giải phương trình bậc hai x bình phương cộng 3x trừ 4 khác 0 để tìm điều kiện xác định của hàm số, loại trừ các giá trị x = 1 và x = -4.
Vậy, tập xác định là D = ℝ {1; -4}.
b) Điều kiện xác định: 2x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3.
Alt text: Điều kiện 2x + 6 lớn hơn hoặc bằng 0 để đảm bảo biểu thức dưới căn bậc hai là không âm, từ đó xác định tập xác định của hàm số.
Vậy, tập xác định là D = [-3; +∞).
c) Vì đây là căn bậc ba, biểu thức dưới căn không cần điều kiện gì thêm. Điều kiện xác định: x³ + x² – 5x – 2 = 0
Alt text: Phương trình bậc ba x mũ 3 cộng x bình phương trừ 5x trừ 2 bằng 0, cần giải để xác định các giá trị loại trừ khỏi tập xác định.
Vậy, tập xác định là D = ℝ.
Alt text: Tập xác định D bằng R, biểu thị hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực khi biểu thức chứa căn bậc ba.
d) Điều kiện xác định: (x² – 1)² – 2x² ≠ 0 ⇔ (x² – √2x – 1)(x² + √2x – 1) ≠ 0.
Alt text: Điều kiện xác định được phân tích thành tích của hai tam thức bậc hai, mỗi tam thức cần được giải để tìm ra các giá trị x loại trừ khỏi tập xác định.
Vậy, tập xác định là D = ℝ {(√2 ± √6)/2; (-√2 ± √6)/2}.
Alt text: Tập xác định của hàm số sau khi giải các điều kiện, loại trừ các giá trị (căn 2 cộng trừ căn 6) chia 2 và (trừ căn 2 cộng trừ căn 6) chia 2.
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = √(2x – 1) / (x – 3)
b) y = √(x + 2) / (x² – 2x)
c) y = √(25 – 9x²) / (x + 1)
d) y = 1 / √(x² – 16)
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện xác định: 2x – 1 ≥ 0 và x – 3 ≠ 0 ⇔ x ≥ 1/2 và x ≠ 3.
Alt text: Biểu thức 2x trừ 1 lớn hơn hoặc bằng 0 và x trừ 3 khác 0, thể hiện điều kiện kết hợp của căn thức và phân thức để xác định tập xác định.
Vậy, tập xác định là D = [1/2; +∞) {3}.
b) Điều kiện xác định: x + 2 ≥ 0 và x² – 2x ≠ 0 ⇔ x ≥ -2 và x ≠ 0 và x ≠ 2.
Alt text: x cộng 2 lớn hơn hoặc bằng 0 và x bình phương trừ 2x khác 0, biểu thị điều kiện để căn thức và mẫu thức có nghĩa, từ đó tìm tập xác định.
Vậy, tập xác định là D = [-2; +∞) {0; 2}.
c) Điều kiện xác định: 25 – 9x² ≥ 0 và x + 1 ≠ 0 ⇔ -5/3 ≤ x ≤ 5/3 và x ≠ -1.
Alt text: Biểu thức 25 trừ 9x bình phương lớn hơn hoặc bằng 0 và x cộng 1 khác 0, thể hiện điều kiện kết hợp để xác định tập xác định của hàm số.
Vậy, tập xác định là D = [-5/3; 5/3] {-1}.
d) Điều kiện xác định: x² – 16 > 0 ⇔ |x| > 4.
Alt text: x bình phương trừ 16 lớn hơn 0, đảm bảo biểu thức dưới căn dương, từ đó xác định tập xác định của hàm số.
Vậy, tập xác định là D = (-∞; -4) ∪ (4; +∞).
Ví dụ 3: Cho hàm số: y = √(x – m + 2) / (x – m + 1) với m là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số theo tham số m.
b) Tìm m để hàm số xác định trên (0; 1).
Hướng dẫn giải:
a) Điều kiện xác định: x – m + 2 ≥ 0 và x – m + 1 ≠ 0 ⇔ x ≥ m – 2 và x ≠ m – 1.
Alt text: Biểu thức x trừ m cộng 2 lớn hơn hoặc bằng 0 và x trừ m cộng 1 khác 0, thể hiện điều kiện xác định của hàm số phụ thuộc vào tham số m.
Vậy, tập xác định là D = [m – 2; +∞) {m – 1}.
b) Hàm số xác định trên (0; 1) ⇔ (0; 1) ⊂ [m – 2; m – 1) ∪ (m – 1; +∞)
Alt text: Điều kiện để hàm số xác định trên khoảng (0; 1), biểu thị sự phụ thuộc của khoảng xác định vào giá trị của tham số m.
Vậy m ∈ (-∞; 1] ∪ {2} là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = √(2x + 4 – 3m) / (x – 1 + m) với m là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có tập xác định là [0; +∞).
Hướng dẫn giải:
Điều kiện xác định: 2x + 4 – 3m ≥ 0 và x – 1 + m ≠ 0 ⇔ x ≥ (3m – 4) / 2 và x ≠ 1 – m.
Alt text: Điều kiện 2x cộng 4 trừ 3m lớn hơn hoặc bằng 0 và x trừ 1 cộng m khác 0, thể hiện sự phụ thuộc của tập xác định vào tham số m.
a) Khi m = 1, điều kiện xác định: x ≥ -1/2 và x ≠ 0.
Alt text: Tập xác định của hàm số khi m = 1 là x lớn hơn hoặc bằng -1/2 và x khác 0, biểu diễn trên trục số.
Vậy, tập xác định là D = [-1/2; +∞) {0}.
b) Để hàm số có tập xác định là [0; +∞), ta cần (3m – 4) / 2 = 0 và 1 – m < 0, tức là m = 4/3.
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = (x² + 5x) / (x² + 3x – 4)
b) y = (2x + 3) / ((x + 1)(x² + 5x + 6))
Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = (2x² + 3x + 2) / (x³ + x² – 5x – 2)
b) y = √(x + 6) / (x – 12 – 2x²)
Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = √(x + 1) / (3x + 2)
b) y = √(x + 2) / (x + 3)(x² – 4x + 4)
Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = √(5 – 3x) / (x² + 4x + 3)
b) y = √(x + 5) / (x² – 25)
Bài 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = √(x + 5) – √(x + 7)
b) y = √(x² – 1) / (3x² – 2x + 3)
Bài 6. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y = x³ khi x ≥ 1; x + 2 khi x < 1
b) y = 1/(x – 5) khi x ≥ 1; √(x – 5) khi x < 1
Bài 7. Cho hàm số y = (2x – 3m + 4 + x) / (x + m – 1) với m là tham số.
a) Tìm tập xác định của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có tập xác định là [0; +∞).
Bài 8. Tìm m để hàm số y = √(x² – mx + 3) xác định trên (0; 3).
Bài 9. Tìm m để hàm số y = √(x – m + 1) + √(2x – x + 2m) xác định trên (-1; 3).
Bài 10. Tìm m để hàm số y = x / √(x – m + 1) xác định trên [0; +∞).
Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm vững cách tìm tập xác định của hàm số. Chúc bạn học tốt!
