Để giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ trong hình học phẳng, việc nắm vững Cách Tìm Tọa độ Vectơ là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, dễ hiểu về các phương pháp xác định tọa độ vectơ, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn có thể áp dụng kiến thức một cách hiệu quả.
1. Các Khái Niệm Cơ Bản và Công Thức Quan Trọng
Trước khi đi vào chi tiết cách tìm tọa độ vectơ, hãy cùng ôn lại một số khái niệm và công thức nền tảng:
- Vectơ đơn vị: Là vectơ có độ dài bằng 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hai vectơ đơn vị trên hai trục tọa độ là $overrightarrow{i} = (1; 0)$ và $overrightarrow{j} = (0; 1)$.
Alt text: Hình ảnh minh họa hệ trục tọa độ Oxy với hai vectơ đơn vị i (1;0) và j (0;1) được biểu diễn, là cơ sở để phân tích và biểu diễn các vectơ khác.
- Tọa độ vectơ: Vectơ $overrightarrow{a}$ có tọa độ (x; y) nếu $overrightarrow{a} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j}$. Trong đó, x là hoành độ và y là tung độ của vectơ $overrightarrow{a}$.
- Hai vectơ bằng nhau: Hai vectơ $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$ bằng nhau khi và chỉ khi $x_1 = x_2$ và $y_1 = y_2$.
Alt text: Biểu thức toán học thể hiện điều kiện để hai vectơ bằng nhau, khi và chỉ khi hoành độ và tung độ tương ứng của chúng bằng nhau.
- Các phép toán trên vectơ:
- Tổng hai vectơ: Nếu $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$ thì $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2)$.
- Hiệu hai vectơ: Nếu $overrightarrow{a} = (x_1; y_1)$ và $overrightarrow{b} = (x_2; y_2)$ thì $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = (x_1 – x_2; y_1 – y_2)$.
- Tích của một số với vectơ: Nếu $overrightarrow{a} = (x; y)$ và k là một số thực thì $koverrightarrow{a} = (kx; ky)$.
Alt text: Công thức toán học về phép cộng và phép trừ vectơ trong hệ tọa độ, thể hiện rõ cách tính hoành độ và tung độ của vectơ kết quả.
- Tọa độ của một điểm: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của điểm M là (x; y) nếu $overrightarrow{OM} = xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j}$, trong đó O là gốc tọa độ.
Alt text: Biểu thức toán học thể hiện mối liên hệ giữa tọa độ điểm M và vectơ OM trong hệ tọa độ Oxy, giúp xác định vị trí của điểm.
- Mối liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ: Cho hai điểm A($x_A$; $y_A$) và B($x_B$; $y_B$). Khi đó, $overrightarrow{AB} = (x_B – x_A; y_B – y_A)$.
Alt text: Công thức toán học để tính tọa độ của vectơ AB khi biết tọa độ của hai điểm đầu mút A và B, một công thức quan trọng trong giải toán vectơ.
2. Các Phương Pháp Tìm Tọa Độ Vectơ
Dưới đây là các phương pháp phổ biến nhất để tìm tọa độ vectơ:
-
Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa và biểu diễn vectơ qua các vectơ đơn vị.
Nếu biết vectơ $overrightarrow{a}$ có thể biểu diễn dưới dạng $xoverrightarrow{i} + yoverrightarrow{j}$, thì tọa độ của $overrightarrow{a}$ là (x; y).
-
Phương pháp 2: Sử dụng tọa độ của điểm đầu và điểm cuối.
Nếu biết tọa độ của điểm đầu A($x_A$; $y_A$) và điểm cuối B($x_B$; $y_B$) của vectơ $overrightarrow{AB}$, thì tọa độ của $overrightarrow{AB}$ là ($x_B – x_A$; $y_B – y_A$).
-
Phương pháp 3: Sử dụng các phép toán trên vectơ.
Nếu biết tọa độ của các vectơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$, ta có thể tìm tọa độ của các vectơ $overrightarrow{a} + overrightarrow{b}$, $overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$, $koverrightarrow{a}$ bằng cách áp dụng các công thức đã nêu ở trên.
-
Phương pháp 4: Sử dụng tính chất hình học.
Trong một số trường hợp, có thể sử dụng các tính chất hình học (ví dụ: quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm) để suy ra tọa độ của vectơ.
3. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 2) và B(4; 6). Tìm tọa độ vectơ $overrightarrow{AB}$.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có $overrightarrow{AB} = (4 – 1; 6 – 2) = (3; 4)$.
Ví dụ 2: Cho vectơ $overrightarrow{a} = (2; -1)$. Tìm tọa độ của vectơ $3overrightarrow{a}$.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có $3overrightarrow{a} = (3 cdot 2; 3 cdot -1) = (6; -3)$.
Ví dụ 3: Cho hai vectơ $overrightarrow{u} = (1; -2)$ và $overrightarrow{v} = (-3; 4)$. Tìm tọa độ của vectơ $overrightarrow{u} + overrightarrow{v}$.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có $overrightarrow{u} + overrightarrow{v} = (1 + (-3); -2 + 4) = (-2; 2)$.
4. Bài Tập Tự Luyện
- Cho A(3; -1), B(-2; 4). Tìm tọa độ vectơ $overrightarrow{BA}$ và trung điểm I của đoạn AB.
- Cho $overrightarrow{a} = (-5; 2)$, $overrightarrow{b} = (1; -3)$. Tìm tọa độ vectơ $overrightarrow{x} = 2overrightarrow{a} – overrightarrow{b}$.
- Cho A(m; 2), B(1; 5-2m), C(-3; -4). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.
- Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(1; 2), B(0; -3), C(-4; 1). Tìm tọa độ điểm D.
- Cho vectơ $overrightarrow{u} = (2; -3)$. Biểu diễn vectơ $overrightarrow{u}$ qua các vectơ đơn vị $overrightarrow{i}$ và $overrightarrow{j}$.
Kết luận
Việc nắm vững các phương pháp tìm tọa độ vectơ là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến vectơ và hình học phẳng. Bằng cách luyện tập thường xuyên và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã trình bày, bạn sẽ có thể giải quyết các bài toán một cách dễ dàng và chính xác. Chúc các bạn học tốt!
