Trong hình học giải tích, việc xác định tâm và bán kính của đường tròn là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp hiệu quả để tìm tâm đường tròn, cùng với các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để củng cố kiến thức.
1. Xác Định Tâm Đường Tròn Từ Phương Trình Chính Tắc
Phương trình chính tắc của đường tròn có dạng:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Trong đó:
- I(a; b) là tọa độ tâm của đường tròn.
- R là bán kính của đường tròn.
Để tìm tâm I, bạn chỉ cần xác định các giá trị a và b từ phương trình đã cho.
Ví dụ:
Cho đường tròn (C) có phương trình: (x + 5)2 + (y – 4)2 = 16.
Tâm của đường tròn là I(-5; 4).
Bán kính của đường tròn là R = √16 = 4.
Ảnh: Minh họa đường tròn có tâm I(-5, 4) và bán kính bằng 4, thể hiện mối quan hệ giữa tâm, bán kính và phương trình đường tròn.
2. Tìm Tâm Đường Tròn Từ Phương Trình Tổng Quát
Phương trình tổng quát của đường tròn có dạng:
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (với điều kiện a2 + b2 – c > 0)
Trong đó:
- I(a; b) là tọa độ tâm của đường tròn.
- R = √(a2 + b2 – c) là bán kính của đường tròn.
Để tìm tâm I, bạn cần xác định các hệ số a, b từ phương trình tổng quát, sau đó sử dụng công thức trên.
Ví dụ:
Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0.
Ta có: -2a = -6 => a = 3; -2b = 4 => b = -2.
Vậy tâm của đường tròn là I(3; -2).
Bán kính của đường tròn là R = √(32 + (-2)2 – (-12)) = √(9 + 4 + 12) = √25 = 5.
Ảnh: Biểu diễn quá trình xác định tâm I(3, -2) và tính bán kính R = 5 từ phương trình tổng quát của đường tròn, nhấn mạnh các bước biến đổi và áp dụng công thức.
3. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn x2 + y2 – 2x + 6y – 1 = 0. Tâm của đường tròn (C) có tọa độ là:
A. (–2; 6)
B. (–1; 3)
C. (2; –6)
D. (1; –3)
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tâm I và bán kính R của đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 6y – 8 = 0 lần lượt là:
A. I(–1; –3), R = 2√2
B. I(1; –3), R = 3√2
C. I(1; –3), R = √2
D. I(1; 3), R = √2
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn (x – 3)2 + (y + 7)2 = 9 có tâm và bán kính là:
A. I(–3; –7), R = 9
B. I(–3; 7), R = 9
C. I(3; –7), R = 3
D. I(3; 7), R = 3
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường tròn x2 + y2 – 10y – 24 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?
A. 49
B. 7
C. 1
D. 29
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2(2x + 3y – 6) = 0 có tâm là:
A. I(–2; –3)
B. I(2; 3)
C. I(4; 6)
D. I(–4; –6)
Bài 6. Cho đường cong (Cm): x2 + y2 – 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào của m thì (Cm) là đường tròn có bán kính bằng 7?
A. m = 4
B. m = 8
C. m = –4
D. m = –8
Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, bán kính của đường tròn (C): 3x2 + 3y2 – 6x + 9y – 9 = 0 là:
A. R = √15/2
B. R = √5/2
C. R = 25
D. R = √5
Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn 2x2 + 2y2 – 8x + 4y – 1 = 0 có tâm là:
A. I(–8; 4)
B. I(2; –1)
C. I(8; –4)
D. I(–2; 1)
Bài 9. Cho hai điểm A(–2; 1) và B(3; 5). Khẳng định nào sau đây là đúng về đường tròn (C) có đường kính AB?
A. Đường tròn (C) có phương trình là x2 + y2 + x + 6y – 1 = 0
B. Đường tròn (C) có tâm I(1/2; 3)
C. Đường tròn (C) có bán kính R=√41
D. Cả A, B, C đều đúng.
Bài 10. Tâm đường tròn (C): x2 + y2 – 10x + 1 = 0 cách trục Oy một khoảng bằng:
A. –5
B. 0
C. 5
D. 10
Ảnh: Tập hợp các câu hỏi trắc nghiệm, giúp người học tự kiểm tra và củng cố kiến thức về cách tìm tâm và bán kính đường tròn thông qua việc áp dụng các công thức và phương pháp đã học.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững cách tìm tâm của đường tròn và áp dụng thành công vào giải các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
