Để học tốt môn Toán lớp 9, việc nắm vững cách tìm ĐKXĐ của biểu thức là vô cùng quan trọng. Đây là kiến thức nền tảng giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến căn thức, phân thức và các biểu thức phức tạp khác. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết, dễ hiểu, cùng các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện đa dạng.
Phương Pháp Tìm Điều Kiện Xác Định (ĐKXĐ)
Để một biểu thức có nghĩa (xác định), chúng ta cần đảm bảo các điều kiện sau:
-
Biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm:
√Axác định khi và chỉ khiA ≥ 0.
-
Mẫu thức của phân thức phải khác 0:
A/Bxác định khi và chỉ khiB ≠ 0.
Kết hợp hai điều kiện trên, ta có thể tìm ĐKXĐ cho các biểu thức phức tạp hơn.
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa:
a) √(-7x)
b) √(2x + 6)
Hướng dẫn giải:
a) √(-7x) xác định khi -7x ≥ 0. Chia cả hai vế cho -7 (lưu ý đổi chiều bất đẳng thức): x ≤ 0.
b) √(2x + 6) xác định khi 2x + 6 ≥ 0. Chuyển vế và chia cho 2: x ≥ -3.
Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √( (x + 2)(x - 3) )
b) √( x^4 - 16 )
c) 1 / (x + 5)
Hướng dẫn giải:
a) √( (x + 2)(x - 3) ) xác định khi (x + 2)(x - 3) ≥ 0. Xét dấu tam thức bậc hai, ta được x ≥ 3 hoặc x ≤ -2.
b) √( x^4 - 16 ) xác định khi x^4 - 16 ≥ 0. Phân tích thành (x^2 - 4)(x^2 + 4) ≥ 0. Vì x^2 + 4 > 0 với mọi x, nên ta chỉ cần xét x^2 - 4 ≥ 0, tương đương (x - 2)(x + 2) ≥ 0. Kết quả là x ≥ 2 hoặc x ≤ -2.
c) 1 / (x + 5) xác định khi x + 5 ≠ 0, hay x ≠ -5.
Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của biểu thức M = √(1-x) / √(x-2)
Hướng dẫn giải:
Biểu thức M xác định khi:
1 - x ≥ 0(từ căn thức ở tử)x - 2 > 0(từ căn thức ở mẫu và mẫu phải khác 0)
Từ đó suy ra x ≤ 1 và x > 2. Hai điều kiện này mâu thuẫn, vậy không tồn tại x thỏa mãn.
Ví dụ 4: Tìm điều kiện xác định của biểu thức: P = √( (3-a)(a+1) / (a-4) ), với a ≥ 0
Hướng dẫn giải:
Biểu thức P xác định khi (3-a)(a+1) / (a-4) ≥ 0. Kết hợp với a ≥ 0 và a ≠ 4, ta tìm được 0 ≤ a ≤ 3.
Bài Tập Trắc Nghiệm Tự Luyện
Bài 1: Biểu thức √(x-1) xác định khi:
A. x ≤ 1 B. x ≥ 1 C. x > 1 D. x < 1
Đáp án: B
Bài 2: Biểu thức √(-(x-1)^2) xác định khi:
A. x ≥ 1 B. x ≤ 1 C. x = 1 D. x ∈ ∅
Đáp án: C
Bài 3: Biểu thức √(x / (x+1)) xác định khi:
A. x ≥ 3 và x ≠ -1 B. x ≤ 0 và x ≠ 1 C. x ≥ 0 và x ≠ 1 D. x ≤ 0 và x ≠ -1
Đáp án: D
Bài 4: Với giá trị nào của x thì biểu thức 1 / √(x-2) xác định?
A. x ≠ 2 B. x ≤ 2 C. x > 2 D. x ≥ 2
Đáp án: C
Bài 5: Biểu thức √x / (x-4) xác định khi:
A. x ≥ -4 B. x ≥ 0 và x ≠ 4 C. x ≥ 0 D. x = 4
Đáp án: B
Bài 6: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa?
a) √(-x)
b) √(2x+3)
c) √(5-2x)
d) 1/(x-1)
Bài 7: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √((2x+1)(x-2))
b) √((x+3)(3-x))
c) √(|x+2|)
d) √((x-1)(x-2)(x-3))
Bài 8: Khi nào các biểu thức sau tồn tại?
a) √((a-2)^2)
b) √(a^2 + 1)
c) √((a-3)(a+3))
d) √(1/(a^2+4))
Bài 9: Mỗi biểu thức sau xác định khi nào?
a) √(x+1) / √(x-2)
b) 1/√(x^2-3x+2)
c) √(x-1) + √(4-x)
Bài 10: Tìm điều kiện xác định của biểu thức: P = √(x) / (x^2 - 4x)
Bài Tập Tự Luyện Nâng Cao
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
a) (x-2) / √(5-x)
b) -3x / √(x^2-1)
c) 3x-2 / √(x^2-2x+4)
d) √(7-x) / (-1+√(x+1))
Bài 2. Cho hai biểu thức A = (x+2) / √(x+3) và B = √(x+2) / (x+3).
a) Tìm điều kiện xác định của A và B;
b) Với giá trị nào của x thì A = B?
Bài 3. Điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) (a√(b) + b√(a)) / (√(a) + √(b) - √(ab))
b) (2 + √(a) - a) / (√(a)-1) - (2 - √(a) + a) / (2-√(a)) + (a+1) / (√(a)+1)
c) 1 / (√(5)√(a-1)) - 1 / (√(a+2)√(a-3)) - 3 / (√(a-2)√(1-a)√(a+3))
Bài 4. Cho biểu thức (x-y) / (1+xy) + (x+y) / (1-xy) : (x+y+2xy) / (1-xy) + 1.
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức;
b) Rút gọn biểu thức.
Bài 5. Cho biểu thức P = (x+2) / (x-5)√(x+6) - (x+3) / (2-√(x)) - (x+2) / (√(x)-3) : (2-√(x)) / (√(x)+1).
a) Tìm điều kiện xác định của P;
b) Rút gọn P;
c) Tìm x để 1/P ≤ -5/2.
Bài 6. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) √(3x)
b) √(5-2x)
c) 1/(√(x)-1)
d) √(-4x^2)
Bài 7. Với giá trị nào của a thì mỗi căn thức sau có ý nghĩa?
a) √(a^2)
b) √(-4a)
c) √(3a+2)
d) √(5-a)
Bài 8. Tìm x để mỗi căn thức sau có ý nghĩa:
a) √(3x-1)
b) √(4x-2)
c) √(x^2+1)
d) 4 / √(2x-1)
Bài 9. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) A = √(x) + √(x+1)
b) B = √(x-2) - √(-x-3)
c) C = √(x-2) / √(x+3)
Bài 10. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:
a) A = √(x) + √(x+1)
b) B = √(x-2) - √(-x-3)
c) (x-2) / √(x+3)
Nắm vững cách tìm ĐKXĐ của biểu thức lớp 9 là bước quan trọng để chinh phục các bài toán khó hơn. Hãy luyện tập thường xuyên và áp dụng các phương pháp đã học để đạt kết quả tốt nhất!