Parabol là một trong những dạng đồ thị quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Việc xác định đỉnh của parabol không chỉ là một kỹ năng cơ bản mà còn là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hàm số bậc hai. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về Cách Tìm đỉnh Parabol, từ lý thuyết đến các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.
1. Định Nghĩa và Phương Trình Parabol
Parabol là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol thường được biểu diễn bởi phương trình bậc hai:
y = ax² + bx + cTrong đó:
a,b,clà các hệ số, vớia ≠ 0.aquyết định hướng của parabol:- Nếu
a > 0: parabol hướng lên trên (bề lõm hướng lên). - Nếu
a < 0: parabol hướng xuống dưới (bề lõm hướng xuống).
- Nếu
Hình ảnh minh họa đồ thị parabol có hệ số a dương, bề lõm hướng lên trên, thể hiện rõ hình dạng và các thành phần cơ bản của parabol.
2. Tọa Độ Đỉnh Parabol: Công Thức và Cách Tính
Đỉnh của parabol là điểm nằm trên trục đối xứng của parabol và là điểm cao nhất (nếu a < 0) hoặc thấp nhất (nếu a > 0) của đồ thị. Tọa độ đỉnh I(xI; yI) của parabol y = ax² + bx + c được tính theo công thức sau:
x_I = -b / 2a
y_I = -Δ / 4aTrong đó, Δ (delta) là biệt thức của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0, được tính bằng:
Δ = b² - 4acCách tìm đỉnh parabol bằng công thức này rất đơn giản:
- Xác định các hệ số
a,b, vàctừ phương trình parabol. - Tính
x<sub>I</sub>bằng công thức-b / 2a. - Tính Δ bằng công thức
b² - 4ac. - Tính
y<sub>I</sub>bằng công thức-Δ / 4a. - Kết luận tọa độ đỉnh I(xI; yI).
Ảnh chụp công thức toán học để tính tọa độ đỉnh I(x, y) của một parabol, với x = -b/2a và y = -Δ/4a, trong đó Δ là b² – 4ac.
3. Ví Dụ Minh Họa Cách Tìm Đỉnh Parabol
Ví dụ 1: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = x² – 4x + 3.
Giải:
- a = 1, b = -4, c = 3
- xI = -(-4) / (2 * 1) = 2
- Δ = (-4)² – 4 1 3 = 16 – 12 = 4
- yI = -4 / (4 * 1) = -1
Vậy đỉnh của parabol là I(2; -1).
Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = -2x² + 8x – 5.
Giải:
- a = -2, b = 8, c = -5
- xI = -8 / (2 * -2) = 2
- Δ = 8² – 4 -2 -5 = 64 – 40 = 24
- yI = -24 / (4 * -2) = 3
Vậy đỉnh của parabol là I(2; 3).
Hình ảnh trình bày ví dụ cụ thể về cách áp dụng công thức để tìm tọa độ đỉnh của parabol, với các bước tính toán chi tiết và rõ ràng.
4. Ứng Dụng của Việc Tìm Đỉnh Parabol
Việc xác định đỉnh parabol có nhiều ứng dụng quan trọng, bao gồm:
- Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số bậc hai: Đỉnh parabol cho biết giá trị lớn nhất (nếu
a < 0) hoặc nhỏ nhất (nếua > 0) của hàm số. - Phác họa đồ thị parabol: Biết tọa độ đỉnh và hướng bề lõm giúp vẽ đồ thị parabol một cách nhanh chóng và chính xác.
- Giải các bài toán liên quan đến quỹ đạo: Trong vật lý, quỹ đạo của một vật ném xiên có dạng parabol, và việc tìm đỉnh parabol giúp xác định độ cao cực đại của vật.
5. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức về cách tìm đỉnh parabol, hãy thử sức với các bài tập sau:
- Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = 3x² + 6x – 2.
- Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = -x² + 2x + 5.
- Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = 2x² – 8x + 8.
Lời giải gợi ý:
- I(-1; -5)
- I(1; 6)
- I(2; 0)
6. Mở Rộng: Tìm Giao Điểm của Parabol với Các Trục Tọa Độ
Ngoài việc tìm đỉnh, việc xác định giao điểm của parabol với các trục tọa độ cũng rất quan trọng.
- Giao điểm với trục tung (Ox): Thay x = 0 vào phương trình parabol y = ax² + bx + c, ta được y = c. Vậy giao điểm với trục tung là (0; c).
- Giao điểm với trục hoành (Oy): Giải phương trình ax² + bx + c = 0. Số nghiệm của phương trình này tương ứng với số giao điểm của parabol với trục hoành.
Hình ảnh minh họa một parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, biểu diễn trực quan mối quan hệ giữa parabol và trục hoành.
Kết luận:
Nắm vững cách tìm đỉnh parabol và các kiến thức liên quan sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán về hàm số bậc hai. Hãy luyện tập thường xuyên để thành thạo kỹ năng này!
