Trong hình học giải tích không gian Oxyz, việc tìm điểm đối xứng qua một mặt phẳng là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn các phương pháp hiệu quả để giải quyết bài toán này.
Bài toán tổng quát: Cho điểm A(xA; yA; zA) và mặt phẳng (P) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0. Tìm tọa độ điểm A'(xA’; yA’; zA’) là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).
Phương pháp giải:
Để tìm điểm đối xứng A’ của A qua mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:
-
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n = (A; B; C).
- Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P) nhận n = (A; B; C) làm vectơ chỉ phương.
- Vậy, phương trình tham số của đường thẳng d là:
x = xA + At y = yA + Bt z = zA + Cttrong đó t là tham số.
-
Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên mặt phẳng (P).
- Điểm H là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Tọa độ điểm H thỏa mãn cả phương trình đường thẳng d và phương trình mặt phẳng (P).
- Thay phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P), ta được một phương trình bậc nhất theo t. Giải phương trình này để tìm giá trị của t.
- Thay giá trị t vừa tìm được vào phương trình tham số của d, ta tìm được tọa độ điểm H(xH; yH; zH).
-
Tìm tọa độ điểm đối xứng A’ của A qua H.
- Vì H là trung điểm của AA’, ta có:
xH = (xA + xA')/2 yH = (yA + yA')/2 zH = (zA + zA')/2- Từ đó, ta suy ra tọa độ điểm A’:
xA' = 2xH - xA yA' = 2yH - yA zA' = 2zH - zA
Ví dụ minh họa:
Cho điểm A(1; 2; -3) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + 2y – z + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P).
-
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với (P).
- Vectơ pháp tuyến của (P) là n = (2; 2; -1).
- Phương trình tham số của đường thẳng d là:
x = 1 + 2t y = 2 + 2t z = -3 - t -
Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên mặt phẳng (P).
- Thay phương trình tham số của d vào phương trình mặt phẳng (P), ta được:
2(1 + 2t) + 2(2 + 2t) – (-3 – t) + 9 = 0
- Giải phương trình này, ta được t = -2.
- Thay t = -2 vào phương trình tham số của d, ta được tọa độ điểm H(-3; -2; -1).
-
Tìm tọa độ điểm đối xứng A’ của A qua H.
- Ta có:
xA' = 2*(-3) - 1 = -7 yA' = 2*(-2) - 2 = -6 zA' = 2*(-1) - (-3) = 1- Vậy, tọa độ điểm A’ là (-7; -6; 1).
Ảnh minh họa vị trí tương quan giữa điểm A, hình chiếu H, điểm đối xứng A’ và mặt phẳng (P) trong không gian ba chiều.
Các lưu ý quan trọng:
- Kiểm tra lại kết quả bằng cách xác minh rằng trung điểm của AA’ thuộc mặt phẳng (P) và vectơ AA’ vuông góc với mặt phẳng (P). Điều này giúp đảm bảo tính chính xác của bài giải Cách Tìm điểm đối Xứng Qua Mặt Phẳng.
- Bài toán tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng là một ứng dụng quan trọng của hình học giải tích trong không gian và có nhiều ứng dụng thực tế.
- Ngoài cách giải trên, bạn có thể tham khảo thêm các phương pháp khác như sử dụng công thức trực tiếp (có thể phức tạp hơn) hoặc sử dụng phần mềm hỗ trợ tính toán. Tuy nhiên, việc hiểu rõ bản chất của phương pháp giải là quan trọng nhất.
Với những kiến thức và ví dụ trên, hy vọng bạn đã nắm vững cách tìm điểm đối xứng qua mặt phẳng trong không gian Oxyz. Chúc bạn thành công trong học tập!
