Cách Lập Bảng Xét Dấu Tam Thức Bậc Hai: Chi Tiết và Dễ Hiểu

1. Tam Thức Bậc Hai Là Gì?

Tam thức bậc hai (đối với biến x) là một biểu thức có dạng:

f(x) = ax² + bx + c

Trong đó:

• a, b, c là các số thực đã cho, gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.
• a ≠ 0 (điều kiện để biểu thức là bậc hai).

2. Định Lý Về Dấu Của Tam Thức Bậc Hai

Đây là nền tảng quan trọng để lập bảng xét dấu. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b² – 4ac.

• Trường hợp 1: Δ < 0

  • f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc tập số thực ℝ. Nói cách khác, nếu a > 0 thì f(x) > 0 với mọi x, và nếu a < 0 thì f(x) < 0 với mọi x.

• Trường hợp 2: Δ = 0

  • f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x trừ nghiệm kép x = -b/2a. Tức là, f(x) > 0 (nếu a > 0) hoặc f(x) < 0 (nếu a < 0) với mọi x ≠ -b/2a. Tại x = -b/2a, f(x) = 0.

• Trường hợp 3: Δ > 0

  • f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (giả sử x₁ < x₂).
  • f(x) cùng dấu với hệ số a khi x nằm ngoài khoảng hai nghiệm, tức là x ∈ (-∞; x₁) ∪ (x₂; +∞).
  • f(x) trái dấu với hệ số a khi x nằm trong khoảng hai nghiệm, tức là x ∈ (x₁; x₂).

Alt text: Bảng tóm tắt dấu của tam thức bậc hai ax bình phương cộng bx cộng c theo delta và hệ số a, giúp học sinh dễ dàng xác định dấu khi xét dấu tam thức.

Lưu ý quan trọng:

• Khi hệ số b là số chẵn, ta có thể sử dụng Δ’ = (b/2)² – ac thay cho Δ để tính toán đơn giản hơn.

3. Các Bước Lập Bảng Xét Dấu Tam Thức Bậc Hai

Khi biểu thức cần xét dấu chỉ là một tam thức bậc hai, ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Tính biệt thức Δ (hoặc Δ’). Xác định dấu của Δ (âm, dương, hoặc bằng không).

• Bước 2: Tìm nghiệm (nếu có).

  • Nếu Δ > 0: Tìm hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.
  • Nếu Δ = 0: Tìm nghiệm kép x = -b/2a.
  • Nếu Δ < 0: Tam thức vô nghiệm.

• Bước 3: Xác định dấu của hệ số a.

• Bước 4: Kết luận về dấu của f(x). Dựa vào định lý về dấu của tam thức bậc hai, kết hợp với dấu của a và các nghiệm tìm được, để xác định dấu của f(x) trên các khoảng xác định.

4. Xét Dấu Biểu Thức Chứa Tích/Thương Các Nhị Thức và Tam Thức Bậc Hai

Nếu biểu thức f(x) là tích hoặc thương của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai, ta thực hiện:

• Bước 1: Tìm nghiệm và điểm không xác định.

  • Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) = 0.
  • Tìm các giá trị của x mà tại đó f(x) không xác định (mẫu thức bằng 0).

• Bước 2: Lập bảng xét dấu.

  • Sắp xếp tất cả các nghiệm và điểm không xác định theo thứ tự tăng dần trên trục số.
  • Xét dấu của từng nhị thức/tam thức trong từng khoảng.
  • Xác định dấu của f(x) bằng cách nhân/chia dấu của các thành phần (lưu ý đến số lượng dấu âm).

• Bước 3: Kết luận. Dựa vào bảng xét dấu để đưa ra kết luận về dấu của f(x) trên các khoảng.

5. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = x² – 5x + 11

b) f(x) = x² – 4x + 4

c) f(x) = –3x² – 2x + 5

Giải:

a) f(x) = x² – 5x + 11: a = 1, b = -5, c = 11.

Δ = (-5)² – 4 1 11 = -19 < 0.

Vì a = 1 > 0 và Δ < 0, nên f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) f(x) = x² – 4x + 4: a = 1, b = -4, c = 4.

Δ = (-4)² – 4 1 4 = 0.

Phương trình có nghiệm kép x = 2.

Vì a = 1 > 0 và Δ = 0, nên f(x) > 0 với mọi x ≠ 2 và f(x) = 0 khi x = 2.

c) f(x) = –3x² – 2x + 5: a = -3, b = -2, c = 5.

Δ = (-2)² – 4 (-3) 5 = 64 > 0.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = -5/3 và x₂ = 1.

Lập bảng xét dấu:

Alt text: Bảng xét dấu tam thức bậc hai f(x) bằng -3x bình phương trừ 2x cộng 5, thể hiện dấu của f(x) trên các khoảng nghiệm âm năm phần ba và một.

Kết luận:

• f(x) > 0 khi x ∈ (-5/3; 1).
• f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -5/3) ∪ (1; +∞).
• f(x) = 0 khi x = -5/3 hoặc x = 1.

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức: f(x) = (3x – 5)(x² – 4)( –2x² + x + 3)

Giải:

Tìm nghiệm:

• 3x - 5 = 0 ⇔ x = 5/3
• x² - 4 = 0 ⇔ x = -2 hoặc x = 2
• -2x² + x + 3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3/2

Lập bảng xét dấu:

Alt text: Bảng xét dấu biểu thức f(x) bằng tích của các nhị thức và tam thức bậc hai, giúp xác định khoảng dương và âm của f(x).

Kết luận:

• f(x) > 0 khi x ∈ (-∞ ; -2) ∪ (-1 ; 3/2) ∪ (5/3 ; 2)
• f(x) < 0 khi x ∈ (-2 ; -1) ∪ (3/2 ; 5/3) ∪ (2 ; +∞)
• f(x) = 0 khi x ∈ {-2, -1, 3/2, 5/3, 2}

Ví dụ 3: Xét dấu biểu thức: f(x) = (x – 1)(-x² + x + 6) / (-x² + 3x + 4)

Giải:

Tìm nghiệm và điểm không xác định:

• x - 1 = 0 ⇔ x = 1
• -x² + x + 6 = 0 ⇔ x = -2 hoặc x = 3
• -x² + 3x + 4 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 4 (mẫu bằng 0)

Lập bảng xét dấu:

Alt text: Bảng xét dấu biểu thức f(x) bằng thương của các nhị thức và tam thức bậc hai, chú ý các điểm làm mẫu số bằng không.

Kết luận:

• f(x) < 0 khi x ∈ (-∞; -2) ∪ (-1; 1) ∪ (3; 4)
• f(x) > 0 khi x ∈ (-2; -1) ∪ (1; 3) ∪ (4; +∞)
• f(x) = 0 khi x ∈ {-2, 1, 3}
• f(x) không xác định khi x ∈ {-1, 4}

6. Bài Tập Tự Luyện

(Các bài tập này được giữ nguyên từ bài gốc để người đọc có cơ hội tự luyện tập.)

Bài 1. Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và Δ = b2 – 4ac. Dấu của Δ khi f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ là

A. Δ ;

B. Δ = 0;

C. Δ > 0;

D. Δ ≥ 0.

Bài 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ;

B. Nếu Δ

C. Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈ℝ−b2a;

D. Nếu Δ

Bài 3. Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và Δ = b2 – 4ac. Ta có f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi

A. a0Δ≤0;

B. a≤0Δ0;

C. a0Δ≥0;

D. a>0Δ≤0.

Bài 4. Cho tam thức f(x) = x2 – 8x + 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm;

B. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ;

C. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

D. f(x)

Bài 5. Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị đi qua ba điểm (0; 1); (1; –2); (3; 0). Kết luận nào sau đây đúng?

A. f(x) âm trong khoảng 14;3;

B. f(x) âm trong khoảng −∞;14;

C. f(x) âm trong khoảng (3; +∞);

D. f(x) dương trong khoảng 14;3.

Bài 6. Cho tam thức bậc hai f(x) = –2×2 + 8x – 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. f(x)

B. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

C. f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;

D. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 7. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì tam thức bậc hai f(x) = x2 – 6x + 8 không dương?

A. (–∞; 2) ∪ (4; +∞);

B. (–∞; 2] ∪ [4; +∞);

C. [2; 4];

D. (2; 4).

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c có đồ thị như hình vẽ.

Alt text: Đồ thị hàm số y bằng ax bình phương cộng bx cộng c với a âm và delta dương, cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Đặt ∆ = b2 – 4ac. Chọn khẳng định đúng:

A. a > 0, Δ > 0;

B. a

C. a > 0, Δ = 0;

D. a

Bài 9. Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?

A. f(x) = x2 – 10x + 2;

B. f(x) = x2 – 2x + 1;

C. f(x) = x2 – 2x + 10;

D. f(x) = –x2 + 2x + 10.

Bài 10. Số giá trị nguyên của x để tam thức f(x) = 2×2 – 7x – 9 nhận giá trị âm là

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

7. Kết Luận

Nắm vững định lý về dấu của tam thức bậc hai và các bước lập bảng xét dấu là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan. Luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn thành thạo kỹ năng này. Chúc bạn học tốt!