Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán lớp 8. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết về phương pháp này, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện có đáp án, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
1. Phương Pháp Chung Để Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
Để giải một bài toán bằng cách lập phương trình, chúng ta thường thực hiện theo các bước sau:
- Bước 1: Lập phương trình
- Chọn ẩn số: Xác định đại lượng cần tìm và đặt nó làm ẩn số (ví dụ: x, y, z,…). Đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số (ví dụ: x > 0, x là số nguyên dương,…).
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết: Dựa vào mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn số và các đại lượng đã biết.
- Lập phương trình: Thiết lập một phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng đã biểu diễn, dựa trên thông tin đã cho trong bài toán.
- Bước 2: Giải phương trình
- Sử dụng các quy tắc và phép biến đổi đại số để giải phương trình đã lập, tìm ra giá trị của ẩn số.
- Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- Kiểm tra xem giá trị của ẩn số tìm được có thỏa mãn điều kiện đã đặt hay không.
- Kết luận về giá trị của đại lượng cần tìm, trả lời câu hỏi của bài toán.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Một người đi xe máy từ A đến B. Vận tốc của xe máy là 40 km/h. Khi về người đó đi với vận tốc 30 km/h nên thời gian về lâu hơn thời gian đi là 45 phút. Tính quãng đường AB.
Lời giải:
- Bước 1: Lập phương trình
- Gọi quãng đường AB là x (km). Điều kiện: x > 0.
- Thời gian đi từ A đến B là x/40 (giờ).
- Thời gian đi từ B về A là x/30 (giờ).
- Đổi 45 phút = 3/4 giờ.
- Phương trình: x/30 – x/40 = 3/4
- Bước 2: Giải phương trình
- Nhân cả hai vế của phương trình với 120, ta được: 4x – 3x = 90
- Suy ra: x = 90
- Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- Giá trị x = 90 thỏa mãn điều kiện x > 0.
- Vậy quãng đường AB dài 90 km.
Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5cm. Tính diện tích hình chữ nhật, biết chu vi của nó là 40cm.
Lời giải:
- Bước 1: Lập phương trình
- Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x (cm). Điều kiện: x > 0.
- Chiều dài của hình chữ nhật là x + 5 (cm).
- Nửa chu vi hình chữ nhật là 40/2 = 20 (cm).
- Phương trình: x + (x + 5) = 20
- Bước 2: Giải phương trình
- 2x + 5 = 20
- 2x = 15
- x = 7.5
- Bước 3: Kiểm tra và kết luận
- Giá trị x = 7.5 thỏa mãn điều kiện x > 0.
- Chiều rộng hình chữ nhật là 7.5 cm.
- Chiều dài hình chữ nhật là 7.5 + 5 = 12.5 cm.
- Diện tích hình chữ nhật là 7.5 * 12.5 = 93.75 cm².
3. Bài Tập Tự Luyện
Dưới đây là một số bài tập tự luyện để các bạn củng cố kiến thức:
Bài 1: Mẹ hơn con 28 tuổi. Sau 3 năm nữa thì tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi con. Tuổi của con hiện nay là bao nhiêu?
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp biết tích của chúng là 132.
Bài 3: Một hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3cm và giảm chiều dài đi 2cm thì diện tích tăng thêm 12cm². Tính các kích thước ban đầu của hình chữ nhật.
Bài 4: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 12 km/h. Khi đi từ B về A, người đó tăng vận tốc thêm 3 km/h. Thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ. Tính quãng đường AB.
Bài 5: Một xưởng may theo kế hoạch mỗi ngày phải may 50 áo. Thực tế, mỗi ngày xưởng may được 60 áo nên đã hoàn thành trước thời hạn 5 ngày và còn may thêm được 100 áo. Hỏi theo kế hoạch, xưởng phải may bao nhiêu áo?
4. Đáp Án và Hướng Dẫn Giải Chi Tiết
Bài 1:
- Gọi tuổi của con hiện nay là x (tuổi). Điều kiện: x > 0, x là số nguyên dương.
- Tuổi của mẹ hiện nay là x + 28 (tuổi).
- Sau 3 năm nữa, tuổi của con là x + 3 (tuổi).
- Sau 3 năm nữa, tuổi của mẹ là x + 28 + 3 = x + 31 (tuổi).
- Phương trình: x + 31 = 3(x + 3)
- Giải phương trình: x + 31 = 3x + 9 => 2x = 22 => x = 11
- Vậy tuổi của con hiện nay là 11 tuổi.
Bài 2:
- Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là x và x + 1. Điều kiện: x là số tự nhiên.
- Phương trình: x(x + 1) = 132
- Giải phương trình: x² + x – 132 = 0 => (x – 11)(x + 12) = 0 => x = 11 (vì x là số tự nhiên).
- Vậy hai số tự nhiên liên tiếp là 11 và 12.
Bài 3:
- Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là x (cm). Điều kiện: x > 0.
- Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là 2x (cm).
- Diện tích ban đầu là 2x².
- Chiều rộng sau khi tăng là x + 3 (cm).
- Chiều dài sau khi giảm là 2x – 2 (cm).
- Diện tích sau khi thay đổi là (x + 3)(2x – 2).
- Phương trình: (x + 3)(2x – 2) – 2x² = 12
- Giải phương trình: 2x² + 4x – 6 – 2x² = 12 => 4x = 18 => x = 4.5
- Vậy chiều rộng ban đầu là 4.5 cm và chiều dài ban đầu là 9 cm.
Bài 4:
- Gọi quãng đường AB là x (km). Điều kiện: x > 0.
- Thời gian đi từ A đến B là x/12 (giờ).
- Thời gian đi từ B về A là x/15 (giờ).
- Phương trình: x/12 + x/15 = 5
- Giải phương trình: 5x + 4x = 300 => 9x = 300 => x = 300/9 = 100/3
- Vậy quãng đường AB dài 100/3 km.
Bài 5:
- Gọi số áo xưởng phải may theo kế hoạch là x (áo). Điều kiện: x > 0, x là số nguyên dương.
- Thời gian theo kế hoạch là x/50 (ngày).
- Số áo thực tế may được là x + 100 (áo).
- Thời gian thực tế là (x + 100)/60 (ngày).
- Phương trình: x/50 – (x + 100)/60 = 5
- Giải phương trình: 6x – 5(x + 100) = 1500 => x – 500 = 1500 => x = 2000
- Vậy theo kế hoạch, xưởng phải may 2000 áo.
5. Lời Khuyên Khi Giải Toán Bằng Cách Lập Phương Trình
- Đọc kỹ đề bài: Hiểu rõ các thông tin đã cho và yêu cầu của bài toán.
- Xác định đại lượng cần tìm: Chọn ẩn số một cách hợp lý, đặt điều kiện rõ ràng.
- Biểu diễn các đại lượng: Tìm mối quan hệ giữa các đại lượng và biểu diễn chúng theo ẩn số.
- Kiểm tra phương trình: Đảm bảo phương trình đã lập phản ánh đúng mối quan hệ giữa các đại lượng.
- Giải phương trình cẩn thận: Tránh sai sót trong quá trình biến đổi và tính toán.
- Kiểm tra kết quả: So sánh kết quả với điều kiện đã đặt và xem xét tính hợp lý của nó.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các bài tập minh họa trên, các bạn sẽ nắm vững phương pháp giải toán bằng cách lập phương trình và tự tin giải quyết các bài toán tương tự. Chúc các bạn học tốt!
